第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式[基础题组练]1．(2020·新余一模)若sin＝，则sin4α－cos4α的值为()A.B．C．－D．－解析：选D.因为sin＝，所以cos2α＝，因此sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝1－2cos2α＝－cos2α＝－，选D.2．(2020·湖南长沙长郡中学一模)已知sin(α＋2β)＝，cosβ＝，α，β为锐角，则sin(α＋β)的值为()A.B．C.D．解析：选D.因为cosβ＝，0<β<，所以sinβ＝，cos2β＝2cos2β－1＝2×－1＝－<0，所以<2β<π.因为sin(α＋2β)＝，α为锐角，所以<α＋2β<π，所以cos(α＋2β)＝－，所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]＝sin(α＋2β)cosβ－cos(α＋2β)sinβ＝×－×＝.故选D.3．已知tan＝，且－<α<0，则＝()A．－B．－C．－D．解析：选A.因为tan＝＝，所以tanα＝－，因为tanα＝，sin2α＋cos2α＝1，α∈，所以sinα＝－.所以＝＝＝2sinα＝2×＝－.故选A.4．已知cos＝，则cosx＋cos＝()A.B．－C.D．±解析：选A.因为cos＝，所以cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝＝cos＝×＝.故选A.5.的值是()A.B．C.D．解析：选C.原式＝＝＝＝.6．sin10°sin50°sin70°＝________．解析：sin10°sin50°sin70°＝sin10°cos40°cos20°＝＝＝.答案：7．(2020·洛阳模拟)已知cos＋sinα＝，则sin＝________．解析：由cos＋sinα＝，可得cosα＋sinα＋sinα＝，即sinα＋cosα＝，所以sin＝，即sin＝，所以sin＝－sin＝－.答案：－8．已知tanα＝，tan＝，则m＝________．解析：由题意，tanα＝，tan＝＝，则＝，所以m＝－6或1.答案：－6或19．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点P得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P得cosα＝－，由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝.10．已知α，β为锐角，tanα＝，cos(α＋β)＝－.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解：(1)因为tanα＝，tanα＝，所以sinα＝cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，因此cos2α＝2cos2α－1＝－.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝，所以tan2α＝＝－，所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.[综合题组练]1．(2020·河南九师联盟2月质量检测)若α∈，且cos2α＝sin，则tanα＝()A.B．C.D．解析：选A.因为α∈，所以sinα＋cosα>0.因为cos2α＝sin，所以(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(sinα＋cosα)，所以cosα－sinα＝.将cosα－sinα＝两边平方可得1－2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝.所以＝.分子、分母同除以cos2α可得＝，解得tanα＝或(舍)，即tanα＝.2．(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则＝()A．8B．4C．2D．1解析：选C.因为m＝2sin18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°.所以＝＝＝＝＝2.故选C.3．已知0<α<，且sinα＝，则tan＝________；＝________．解析：因为0<α<，且sinα＝，所以cosα＝＝，所以tanα＝＝，则tan＝tan(α＋)＝＝7.＝＝＝＝.答案：74．设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sinαcosβ－cosαsinβ＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，所以α－β＝，所以即≤α≤π，所以sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝sin.因为≤α≤π，所以≤α＋≤，所以－1≤sin≤1，即取值范围为[－1，1]．答案：[－1，1]5．已知coscos＝－，α∈.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－的值．解：(1)coscos＝cossin＝sin＝－，即sin＝－.因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－，所以sin2α＝sin＝sincos－cossin＝－×－×＝.(2)因为α∈，所以2α∈...
