●基础知识一、基本不等式设a，b∈R，则①a2≥0；②a2＋b2≥2ab，a，b∈R，要认识到a和b代表的实数既可以是具体数字，也可以是比较复杂的变量式，应用广泛．二．均值不等式设a，b∈(0∞，＋)，则当且仅当时，不等式取等号．它的证明要能从基本不等式中得出，既是对基本不等式中a，b的灵活变式，又具有自身特点，a，b(0∈∞，＋)．a＝b三、灵活变式①a2＋b2；②ab.③ab；④.⑤(a＋b)24ab.当且仅当a＝b时，各式中等号成立．≥≤≤≤≥提醒：有些式子虽可写成a＋的形式，但“＝”却永远取不到，这时就不能用均值不等式求最值．例如求函数y＝sinx＋的最值，就必须用单调性．四、利用两个定理求最大、最小值问题1．x，y(0∈，＋∞)，且xy＝P(定值)，那么当x＝y时，x＋y有最值22．x，y(0∈，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当x＝y时，xy有最值小大●易错知识一、均值不等式求最值忽视各项为正致误1．函数y＝1＋2x＋(x＜0)有最________值为__________；答案：大1－22．已知0＜x＜1，则函数y＝2＋log2x＋有最__________值为__________．答案：大2－2二、均值不等式求最值忽视积(或和)为定值致误3．函数f(x)＝x(5－2x)，x∈(0，)的最大值为__________；答案：－2三、均值不等式求最值忽视等号成立条件致误答案：56．函数f(x)＝的最小值为____________．●回归教材1．(2009·湖南，10)若x＞0，则x＋的最小值为________．2．(教材P124题改编)①x＞1时，x＋的最小值为________．②x≥4时，x＋的最小值为________．3．若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________．4．已知x＞0，y＞0，xy＝2，则的最小值为________．答案：25．(教材P333题原题)已知a>b>0，求a2＋的最小值．命题意图：考查算术平均数大于等于几何平均数的应用．分析：为求最小值，从题中可以看出，应使两数乘积为定值，为此应将a2和b(a－b)中之一拆项变形．由a＝(a－b)＋b，从而可将a用b和a－b表示，也可由b(a－b)转化后用a表示．解析：解法1： a－b＞0，b＞0且a－b＋b＝a，当且仅当b＝a－b时上式取等号，即2b＝a.①解法2： a＞b＞0，∴a－b＞0，∴原式的最小值为16.答案：16【例1】已知a、b∈R＋，则的大小顺序是()[答案]C[总结评述]由重要不等式及推论知一些常用的变形不等式，如：有其广泛的应用，应注意推导和掌握．解析：因为a>b>1，所以lga>lgb>0，所以R>Q.故P
