4.2.1直线与圆的位置关系A级基础巩固一、选择题1．直线3x－4y＋6＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心解析：圆心(2，3)在直线3x－4y＋6＝0上，即直线与圆相交且过圆心．答案：C2．若直线y＝kx－2k与圆(x－3)2＋y2＝1恒有两个交点，则实数k的取值范围为()A．RB．(－∞，0)∪(0，＋∞)C.D.解析：由题意可知＜1，即此不等式恒成立．或直线y＝k(x－2)过定点(2，0)，定点(2，0)在圆(x－3)2＋y2＝1上．由于斜率k存在，故总有两个交点．答案：A3．直线y＝kx被圆x2＋y2＝2截得的弦AB长等于()A．4B．2C．2D.解析：直线y＝kx过圆心，被圆x2＋y2＝2所截得的弦长恰为圆的直径2.答案：C4．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是()A．36B．18C．6D．5解析：圆的方程化为标准式得(x－2)2＋(y－2)2＝18.圆心(2，2)到直线x＋y－14＝0的距离d＝＝5.从而圆上的点到直线的最小距离为5－r＝5－3＝2，最大距离为5＋3＝8，故最大距离与最小距离的差是6.答案：C5．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．答案：C二、填空题6．过点A(2，4)向圆x2＋y2＝4所引的切线方程为___________．解析：显然x＝2为所求切线之一，另设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.又＝2，得k＝，所以切线方程为3x－4y＋10＝0，故所求切线为x＝2，或3x－4y＋10＝0.答案：x＝2或3x－4y＋10＝07．由动点P(x，y)引圆O：x2＋y2＝4的两条切线，切点为A，B，若∠APB＝90°，则点P的轨迹方程是________________________．解析：由题意知|AO|＝2，|PO|＝2，所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝8.答案：x2＋y2＝88．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线方程为________________．解析：设圆心坐标为(a，0)，则＋()2＝(a－1)2，解得a＝3或－1.又因为圆心在x轴正半轴上，所以a＝3，圆心坐标为(3，0)．又因为圆心在所求直线上，该直线与l垂直．所以该直线的方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题9．自点P(－6，7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．解：如图所示，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．由于l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.由圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l的距离等于半径，知＝＝2，解得k＝－或k＝－.故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.10．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．解：(1)设圆A的半径为r，因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，所以r＝＝2，所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x＝－2，此时有|MN|＝2即，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，因为Q是MN的中点，所以AQ⊥MN，所以|AQ|2＋＝r2，又因为|MN|＝2，r＝2，所以|AQ|＝＝1，解方程|AQ|＝＝1，得k＝，所以此时直线l的方程为y－0＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.B级能力提升1．已知点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最大值是()A．6B．8C．3－D．3＋解析：直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，|AB|＝2，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值，又圆心M(1，0)，半径r＝1，点M到直线x－y＋2＝0的距离是.由圆的几何性质得d的最大值是＋1，所以△ABC面积的最大值是×2×＝3＋.答案：D2．直线y＝x＋b与曲线y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线...
