高中数学 第一章 三角函数 1.3 弧度制例题与探究（含解析）北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

1.3弧度制典题精讲例1已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多大时，它有最大面积？思路分析：设扇形的半径是r，弧长是l，扇形面积可表示为S=lr，l与r之间还要满足周长为20，即l+2r=20，所以l=20-2r，这样S就能表示成关于r的二次函数，再利用二次函数的性质求最值.解：设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的面积为S.由已知条件,知l+2ｒ=20，即l=20-2ｒ.由0＜l＜2πr，得0＜20-2r＜2πr，∴＜r＜10.∴S=lr=（20-2r）r=-r2+10r=-（r-5）2+25（＜r＜10），当r=5时，S取最大值25，此时l=10，α==2,即当扇形的圆心角为2时，扇形有最大面积25.绿色通道：当扇形周长为定值时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注明r的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.变式训练已知扇形面积为25cm2，当扇形的圆心角为多大时，扇形的周长最小?思路分析：设扇形的半径是r，弧长是l，则25=lr，扇形周长y=l+2r，消去l得y关于r的二次函数，再利用函数的单调性求最值.解：设扇形的半径是r，弧长是l，此时扇形的周长为y，则y=l+2r.由题意，得lr=25，则l=，∴y=+2r(r＞0).利用函数单调性的定义可以证明：当0＜r≤5时，函数y=+2r是减函数；当r＞5时，函数y=+2r是增函数.∴当r=5时，y取最小值20，此时l=10，α==2,即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值20.例2如图1-3-2所示，一绳索绕在半径为40厘米的滑轮上，绳索的下端B处悬挂着物体W.如果轮子按逆时针方向每分旋转6圈，那么需要几秒才能把物体W的位置向上提升100厘米？图1-3-2思路分析：轮子按逆时针方向旋转，A点转过的弧的长等于B点上升到B′时的距离.这是本题中潜藏的等量关系.解：当BB′=100厘米时，AA′=100厘米，AA′所对的圆心角∠AOA′=.∴轮子每分钟匀速旋转6圈.∴每秒匀速转过,t秒转过.∴=，解得t=≈4（秒）,即约需4秒钟才能把物体W的位置向上提升100厘米.绿色通道：在实际生活中，滑轮是一种重要的省力工具，单个滑轮转动时，滑轮上的点转过的弧长与跟它连接的绳索上的点移动的距离是相等的，在分析中,要注意图形的作用，数形结合是解决此类问题的有效办法.变式训练如图1-3-3，已知圆上一点A（1，0）按逆时针方向作匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ（0＜θ≤π）角，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又转到最初位置，则θ角的弧度数是________________.图1-3-3思路解析：因为0＜θ≤π，可得0＜2θ≤2π.又因为2θ在第三象限，所以π＜2θ＜,即＜θ＜.由14θ=2kπ（k∈Z）,得θ=（k∈Z），所以＜＜，即＜k＜.所以k=4或5，θ=或θ=.答案：或问题探究问题1已知集合M={x|x=+,k∈Z}，N={x|x=+,k∈Z}，试探索M和N的关系.导思：利用归纳、猜想、证明的方法探索,即先用列举法表示集合M和N，由此归纳它们之间的关系，猜想出结论后，再证明所得结论.探究：用列举法表示集合M和N.M={±，±,±,±,…},N={0,±，±,±,±π,±,±,±,…},归纳：集合M中元素都在集合N中，但是集合N中±不在集合M中.猜想：MN.证法一：把集合M和N中的元素看成“单纯”的实数来讨论.设x∈M，则存在k∈Z，满足x=+=+.∵2k∈Z，∴x∈N.∴MN.设=+，∴k=.则kZ，∴∈N,M，∴MN.综上所得MN.证法二:把集合M和N中的元素看成弧度制表示的角来讨论.如图1-3-4所示.图1-3-4集合M中元素x=+,k∈Z可以看成将角的终边旋转所得的角；集合N中元素x=+,k∈Z可以看成将角的终边旋转所得的角.由图1-3-4可见，集合M中的元素都在集合N中，但是集合N中的元素±不在集合M中，所以有MN.