压轴小题突破练(3)1．如图，过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c,0)(c＞0)，作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OP＝2OE－OF，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案C解析由OP＝2OE－OF，得OE＝(OF＋OP)，可知E为PF的中点，令右焦点为F′，则O为FF′的中点，|PF′|＝2|OE|＝a，又 |PF|－|PF′|＝2a，∴|PF|＝3a， E为切点，∴OE⊥PF，PF′⊥PF，∴|PF|2＋|PF′|2＝|FF′|2，∴10a2＝4c2，e＝.2．在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cosC＝.若动点P满足AP＝(1－λ)AB＋AC(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为()A．5B．10C．2D．4答案A解析设AD＝AC，所以AP＝AC＋(1－λ)AB＝λAD＋(1－λ)AB，则B，P，D三点共线，故P点的轨迹为直线BD.则点P的轨迹与直线BC，AC围成的封闭区域为△BCD及其内部区域．因为sinC＝＝，则S△BCD＝BC·CD·sinC＝×7××6×＝5.3．已知向量a，b满足|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，则向量a，b的夹角的取值范围是()A.B.C.D.答案C解析求导可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b，则由函数f(x)＝2x3＋3|a|x2＋6a·bx＋7在实数集R上单调递增，可得f′(x)＝6x2＋6|a|x＋6a·b≥0在R上恒成立，即x2＋|a|x＋a·b≥0恒成立，故判别式Δ＝a2－4a·b≤0恒成立，再由|a|＝2|b|≠0，可得8|b|2≤8|b|2cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉≥，又 〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉∈.4．设A，B分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，P是双曲线上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则＋＋＋2ln＋2ln取得最小值时，双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案C解析设A(－a,0)，B(a,0),P(x0，y0)(x0≠±a)，点P在双曲线上，得－＝1，所以kPAkPB＝·＝＝，即mn＝，＋＋＋2ln|m|＋2ln|n|≥4＋＋2ln，设函数f(x)＝2lnx＋(x>0),f′(x)＝－＝，所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．f(x)min＝f，即mn＝＝，又基本不等式等号成立的条件为当且仅当a2＝4b2，所以e＝＝.5．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD的中点，连接BF，交AC，CE于G，H两点，记I1＝GA·GB，I2＝GF·GC，I3＝HE·HF，则I1，I2，I3的大小关系是()A．I1
