2822第3课时利用方位角、坡度角解直角三角形VIP免费

28.1锐角三角函数第3课时利用方位角、坡度解直角三角形．．AB学习目标1.正确理解方向角、坡度的概念；（重点）2.能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题.(难点)如图，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？右边的路BD陡些．右边的路BD陡些．如何用数量来刻画哪条路陡呢？如何用数量来刻画哪条路陡呢？情景引入以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角,叫做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南北偏东30°南偏西45°一、解与方位角有关的问题例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01nmile）？65°34°PBCA典例精析解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91=72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23nmile．65°34°PBCAsinPCBPB72.872.8130.23nsinsin340.559PCPBB（mile)例2某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l(如图)．救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号．他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙．乙马上从C处入海，径直向B处游去．甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去．若CD＝40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒，则谁先到达B处？请说明理由(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43).分析：在Rt△CDB中，利用三角函数即可求得BC，BD的长，则可求得甲、乙所用的时间，比较二者之间的大小即可．解：由题意得∠BCD＝55°，∠BDC＝90°.∴BD＝CD•tan∠BCD＝40×tan55°≈57.2(米)．BC＝CDcos∠BCD＝40cos55°≈70.2(米)．∴t甲≈57.22＋10＝38.6(秒)，t乙≈70.22＝35.1(秒)．∴t甲>t乙．答：乙先到达B处．水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13∶，斜坡CD的坡度i=12.5∶，则斜坡CD的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长应设计为多少？ADBCi=1:2.52363:1i二、解与坡度有关的问题αlhi=h:l1.坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.2.坡度（或坡比）坡度通常写成1∶m的形式，如i=16.∶如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i,即i=——hl3.坡度与坡角的关系itanhl坡度等于坡角的正切值坡面水平面1.斜坡的坡度是，则坡角α=______度.2.斜坡的坡角是45°，则坡比是_______.3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是_______.3:1αlh301：11:3练一练例3如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？i=1:2典例精析在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m，解：用α表示坡角的大小，由题意可得因此α≈26.57°.答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3m．从而BC=240×sin26.57°≈107.3（m）．你还可以用其他方法求出BC吗？1tan0.52α因此sin240BCBCACα例4水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13∶，斜坡CD的坡度i=12.5∶，求：（1）坝底AD与斜坡AB的长度（精确到0.1m）;（2）斜坡CD的坡角α（精确到1°）.EFADBCi=1:2.52363:1iα分析：由坡度i会想到产生铅垂高度，即分别过点B、C作AD的垂线；垂线BE、CF将梯形分割成Rt△ABE，Rt△CFD和矩形BEFC，则AD=AE+EF+FD，EF=BC=6m，AE、DF可结合坡度,通过解RtABE△和Rt△CDF求出；斜坡AB的长度以及斜坡CD的坡角的问题实质上就是解Rt△ABE和Rt△CDF.解：(1)分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E、F,由题意可知EFADBCi=1:2.523613i:αBE=CF=23m，EF=BC=6m.在Rt△ABE中13BEAEi332369mAEBE在Rt△DCF中，同理可得2.52.52357.5mFDCFADAEEFFD=69+6+57.5=132.5m在Rt△ABE中，由勾股定理可得2222692372.7m...