【成才之路】高中数学1-3-1辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法能力强化提升新人教A版必修3一、选择题1．给出下列说法：①在计算机中，做一次乘法运算所用的时间，比做一次加法运算所用的时间长得多；②在计算机中，计算xk(k＝2,3…，，n)要进行k次运算；③因为秦九韶算法是在南宋时期提出的，所以现在在多项式求值中不是一种先进的算法；④利用秦九韶算法求n次多项式的值时，可以将其转化为求n个一次多项式的值，其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]①④正确，②③不正确，故选B.2．用更相减损术可求得78与36的最大公约数是()A．24B．18C．12D．6[答案]D[解析]先用2约简得39,18；然后辗转相减得39－18＝21,21－18＝3,18－3＝15,15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3.所以所求的最大公约数为3×2＝6.3．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析] 294＝84×3＋42,84＝42×2，∴选B.4．利用秦九韶算法计算多项式f(x)＝101x100＋100x99＋99x98…＋＋2x＋1当x＝x0时的值，其中下面公式v0＝101，vk＝vk－1x0＋101－k(k＝1,2…，100)被反复执行，可用循环结构来实现，那么该循环结构中循环体被执行的次数为()A．200B．101C．100D．99[答案]C5．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x7＋x6－3x5＋4x3－8x2－5x＋6的值时，v5＝v4x＋()A．－3B．4C．－8D．－5[答案]C6．运行下面的程序，当输入n＝840和m＝1764时，输出结果是()A．84B．12C．168D．252[答案]A[解析] 1764＝840×2＋84,840＝84×10，∴1764与840的最大公约数为84.7．用更相减损术，求105与30的最大公约数时，需要做减法的次数是()A．2B．3C．4D．5[答案]C[解析]105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.8．用秦九韶算法求n次函数f(x)＝anxn＋an－1xn－1…＋＋a1x＋a0在x＝x0时的值时，一个反复执行的步骤是()A.(k＝1,2…，，n)B.(k＝1,2…，，n)C.(k＝1,2…，，n)D.(k＝1,2…，，n)[答案]B[解析]由秦九韶算法的原理可知．二、填空题9．(～·吉林高一检测)930与868的最大公约数是________．[答案]62[解析] 930＝868×1＋62868＝62×14∴930与868的最大公约数为62.10．用秦九韶算法计算f(x)＝3x4＋2x2＋x＋4当x＝10时的值的过程中，v1的值为________．[答案]30[解析]改写多项式为f(x)＝(((3x＋0)x＋2)x＋1)x＋4，则v0＝3，v1＝3×10＋0＝30.11．阅读程序：INPUT“m，n”＝；m，nIFn>mTHENt＝mm＝nn＝tENDIFDOr＝mMODnm＝nn＝rLOOPUNTILr＝0PRINTmEND若INPUT语句中输入m，n的数据分别是72,168，则程序运行的结果为________．[答案]24[解析]该程序是用辗转相除法求两个数的最大公约数的算法程序，输入72,168，即求它们的最大公约数，可求出它们的最大公约数为24.12．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值：①第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.第三步，输出f(x)．②第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.第三步，输出f(x)．③需要计算5次乘法，5次加法．④需要计算9次乘法，5次加法．以上说法中正确的是________(填序号)．[答案]②③[解析]①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确．对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误．三、解答题13．(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数．(2)用更相减损术求459与357的最大公约数．[解析](1)1746＝840×2＋84，840＝84×10＋0，所以840与1764的最大公约数为84.(2)459－357＝102，357－102＝255，255－102＝153，153－102＝51，102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51.14．(～·大同高一检测)用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2当x＝－2时的值．[解析] f(x)＝x6－5x5＋6x4＋0·x3＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2∴当x＝－2时，v0＝1，v1＝－2－5＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋0.3＝－161.7，v6＝－161.7×(－2)＋2＝325.4，∴f(－2)＝325.4.15．已知n次多项式...
