【成才之路】-学年高中数学1.3第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法强化练习新人教A版必修3一、选择题1．(～·遵义高一检测)“”用辗转相除法求得459和357的最大公约数是()A．3B．9C．17D．51[答案]D2．36和28的最大公约数和最小公倍数分别是()A．2和504B．4和504C．2和252D．4和252[答案]D3．用更相减损术求651和310的是大公约数时，需要做减法的次数为()A．11B．10C．3D．2[答案]A4．用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x7＋x6－3x5＋4x3－8x2－5x＋6的值时，v5＝v4x＋()A．－3B．4C．－8D．－5[答案]C5．(～·菏泽高一检测)用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x的值，当x＝3时，v3的值为()A．27B．86C．262D．789[答案]C[解析]多项式变形为：f(x)＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，v0＝7，v1＝7×3＋6＝27，v2＝27×3＋5＝86，v3＝86×3＋4＝262.6．(～·福州高一检测)用秦九韶算法求n次多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1…＋＋a1x＋a0的值，当x＝x0时，求f(x0)需要算乘方、乘法、加法的次数分别为()A.，n，nB．n,2n，nC．0，n，nD．0,2n，n[答案]C[解析]多项式变形为：f(x)＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x…＋＋a1)x＋a0，把x0代入上式可求f(x0)，所以不需要做乘方运算，做乘法和加法的次数分别是n，n，故选C.二、填空题7．已知多项式f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x－1，则f(－2)＝________.[答案]－2438．(～·黄冈高一检测)三个数720,120,168的最大公约数是________．[答案]24[解析]先求720与120的最大公约数120，再求168与120的最大公约数24，因此，720,120与168的最大公约数为24.9．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1在x＝－2时的值：①第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝7x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1.第三步，输出f(x)．②第一步，x＝－2.第二步，f(x)＝((((7x＋5)x＋10)x＋10)x＋5)x＋1.第三步，输出f(x)．③需要计算5次乘法，5次加法．④需要计算9次乘法，5次加法．以上说法中正确的是________(填序号)．[答案]②③[解析]①是直接求解，并不是秦九韶算法，故①错误，②正确．对于一元最高次数是n的多项式，应用秦九韶算法需要运用n次乘法和n次加法，故③正确，④错误．三、解答题10．(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数．(2)用更相减损术求561与255的最大公约数．[解析](1)1746＝840×2＋84，840＝84×10＋0，所以840与1764的最大公约数为84.(2)561－255＝306，306－255＝51，255－51＝204，204－51＝153，153－51＝102，102－51＝51所以459与357的最大公约数为51.11．(～·大同高一检测)用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2当x＝－2时的值．[解析]∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋0·x3＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2∴当x＝－2时，v0＝1，v1＝－2－5＝－7，v2＝－7×(－2)＋6＝20，v3＝20×(－2)＋0＝－40，v4＝－40×(－2)＋1＝81，v5＝81×(－2)＋0.3＝－161.7，v6＝－161.7×(－2)＋2＝325.4，∴f(－2)＝325.4.12．已知n次多项式Pn(x)＝anxn＋an－1xn－1…＋＋a1x＋a0(ak≠0，k＝0,1…，，n)，x0为任意实数．(1)在平常的算法中，计算x(k＝2,3…，，n)的值需要进行k－1次运算，计算P3(x0)＝a3x3＋a2x2＋a1x＋a0的值共需要进行9次运算(6次乘法、3次加法)，那么计算Pn(x0)的值需要进行多少次运算？(2)若用秦九韶算法计算Pn(x0)的值，则需要进行多少次运算？[解析](1)加法运算次数为n，乘法运算次数为1＋2＋3…＋＋n＝，所以共需n＋＝(次)．(2)加法运算次数为n次，乘法也为n次，共需2n次．
