专题高中数学常见的知识类比一、⑴类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．⑵类比推理的一般步骤：⑴找出两类事物之间的相似性或一致性；⑵用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；⑶一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；⑷在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。⑶类比推理的特点：①类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；②类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；③类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能．二、常见的几种类比：代数方面：加→乘，减→除，乘→乘方，除→开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式→不等式，等差数列→等比数列等等。几何方面：平面（二维）→立体（三维），线段→面，面积→体积，平面角→二面角.解析几何方面：圆→椭圆，椭圆→双曲线【1】类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,b∈R,则a+b∈R若a,b∈R,则ab∈R运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)ab=ba(ab)c=a(bc)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/a单位元a+0=aa·1=a【2】根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质：猜想不等式的性质：(1)a=ba+c=b+c;(1)a＞ba+c＞b+c;(2)a=bac=bc;(2)a＞bac＞bc;(3)a=ba2=b2;等等。(3)a＞ba2＞b2;等等【3】实数系与向量系的类比：实数系向量系实数0、单位1数a的相反数－a实数a的绝对值|a|零向量0→、单位向量e→向量a→的相反向量－a→向量a→的模|a→|运算规律：①交换律：a＋b＝b＋a②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，(ab)c＝a(bc)③分配律：a(b＋c)＝ab＋ac④消去律：若ab＝ac，a≠0，则b＝c⑤若ab＝0，则a＝0，或b＝0⑥公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2运算规律：①交换律：a→＋b→＝b→＋a→②结合律：(a→＋b→)＋c→＝a→＋(b→＋c→)(a→·b→)c→≠a→(b→·c→)（乘法不满足）③分配律：a→·(b→＋c→)＝a→·b→＋a→·c→④不满足消去律：若a→·b→＝a→·c→，那么b→与c→不一定相等.⑤若a→·b→＝0，那么不一定a→＝0→或b→＝0→.⑥公式：(a→＋b→)·(a→－b→)＝a→2－b→2(a→±b→)2＝a→2±2a→·b→＋b→2(a±b)2＝a2±2ab＋b2⑦|a·b|＝|a|·|b|⑦|a→·b→|≤|a→|·|b→|||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|||a→|－|b→||≤|a→±b→|≤|a→|＋|b→|【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质【5】平面几何与立体几何的类比：【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球平面几何立体几何角及角平分线二面角及角平分面线段的垂直平分线线段的垂直平分面三角形的三条边四面体的四个面平行四边形对角线相交一点，并且被平分平行六面体的对角线相交于一点，并且被平分弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质圆的周长C＝d（d为直径）球的表面积S＝d2（d为球直径）圆的面积S＝r2（r为半径）球的体积V＝43r3（r为球半径）（这一点不是很好的类比）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两条弦长相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆的面积相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过...
