高中数学选修1同步练习3直线与双曲线的位置关系含答案总结VIP专享VIP免费

2.3.3直线与双曲线的位置关系一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知双曲线方程为x2－y24＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A．4B．3C．2D．1解析：数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．答案：B2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.2B.3C.3＋12D.5＋12解析：设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－bc.又渐近线的斜率为±ba，所以由直线垂直关系得－bc·ba＝－1(－ba显然不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝5＋12或e＝1－52(舍)．答案：D3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A．(1,2]B．(1,2)C．[2，＋∞)D．(2，＋∞)解析：根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan60°＝3，即ba≥3，则c2－a2a2＝e2－1≥3，故有e2≥4，e≥2.故选C.答案：C4．P是双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A．6B．7C．8D．9解析：设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．解析： ∠AOB＝120°?∠AOF＝60°?∠AFO＝30°?c＝2a，∴e＝ca＝2.答案：26．已知双曲线x212－y24＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．解析：由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±33x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－33≤k≤33.答案：－33，33三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．解析： a＝1，b＝3，c＝2，又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan45°＝1，∴l的方程为y＝x－2，由y＝x－23x2－y2＝3消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x1·x2＝－72<0，∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上． x1＋x2＝－2，x1·x2＝－72，∴|AB|＝1＋12|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·－2－4×－72＝6.8．已知双曲线x2－y23＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．解析：①当k＝0时，显然不成立．②当k≠0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐标为M(x0，y0)，由l⊥AB，可设直线AB的方程为y＝－1kx＋b，将其代入3x2－y2＝3中，得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.显然3k2－1≠0，即k2b2＋3k2－1>0.①由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为x0＝－kb3k2－1，②y0＝3k2b3k2－1.③因为M平分AB，所以M(x0，y0)在直线l上，从而有3k2b3k2－1＝－k2b3k2－1＋4，即k2b＝3k2－1，④将④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，即3k2－1k2>0或3k2－1k<－1，∴|k|>33或|k|<12，且k≠0，∴k>33或k<－33或－12