压轴题提分练(四)1．(2018·贵阳模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c,0)，点P为椭圆C上的动点，若|PF|的最大值和最小值分别为2＋3和2－3.(1)求椭圆C的方程；(2)设不过原点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值．解析：(1)由已知得：a＋c＝2＋3a－c＝2－3?a＝2c＝3，∴b2＝4－3＝1，∴椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)设l：y＝kx＋b(易知l存在斜率，且b≠0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)由条件知：k2＝y1y2x1x2＝kx1＋b·kx2＋bx1x2＝k2x1x2＋kbx1＋x2＋b2x1x2＝k2＋kbx1＋x2＋b2x1x2∴kbx1＋x2＋b2x1x2＝0，∴x1＋x2＝－bk，①y＝kx＋bx24＋y2＝1?(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，∵Δ＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＞0，∴4k2＋1－b2＞0，∴x1＋x2＝－8kb1＋4k2，②联立①②得：－bk＝－8kb1＋4k2，∴4k2＝1，|PQ|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝1＋k244k2＋1－b24k2＋1＝1＋1442－b22＝10－5b2.点O到直线l的距离d＝|b|1＋k2＝|b|1＋14，∴S△OPQ＝12|PQ|·d＝12×10－5b2×|b|54＝|b|2－b2＝2－b2b2＝－b2－12＋1.∵4k2＝1且4k2＋1－b2＞0，∴0＜b2＜2，所以当b2＝14k2＝1?b＝±1k＝±12?直线l为：y＝±12x±1时，(S△OPQ)max＝1.2．(2018·保定模拟)已知函数f(x)＝ax－lnx．(a是常数，且a＞0)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当y＝f(x)在x＝1处取得极值时，若关于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在12，2上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．解析：(1)由已知函数f(x)的定义域为x＞0，f′(x)＝a－1x＝ax－1x，由f′(x)＞0得x＞1a，由f′(x)＜0，得0＜x＜1a.所以函数f(x)的单调减区间为0，1a，单调增区间为1a，＋∞.(2)由题意，得f′(1)＝0.∴a＝1，∴f(x)＝x－lnx，∴f(x)＋2x＝x2＋b，即x－lnx＋2x＝x2＋b.∴x2－3x＋lnx＋b＝0，设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)，则g′(x)＝2x－3＋1x＝2x2－3x＋1x＝2x－1x－1x.当x∈12，2时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：x1212，11(1,2)2g′(x)0－0＋g(x)b－54－ln2b－2b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在12，2上恰有两个不相等的实数根，∴g12≥0g1＜0，g2≥0∴b－54－ln2≥0b－2＜0b－2＋ln2≥0，∴54＋ln2≤b＜2即b∈54＋ln2，2.
