排列组合和二项式定理基础知识☆.两个基本原理:加法原理、乘法原理(正确地分类与分步是学好这一章的关键)加法原理与乘法原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数。它们的区别在于:加法原理与“分类”有关,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以完成这件事;乘法原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成。说明:教学中要强调分类与分步的区别,因为学生易混淆。☆.排列(1)排列、排列数定义(2)排列数公式:mnP=)!(!mnn=n·(n-1)⋯(n-m+1)(3)全排列公式:nnP=n!☆.组合(1)组合、组合数定义,排列与组合的区别;(2)组合数公式:Cnm=)!(!!mnmn=12)1(1)m-(n1)-n(mmn;(3)组合数的性质①Cnm=Cnn-m;②rnrnrnCCC11;说明:排列与组合问题的共同点是要“从n个不同元素中,任取m个元素”;不同点是对于所取出的m个元素,前者要“按照一定的顺序排成一列”,而后者却是“不管怎样的顺序并成一组”。另外,由于学生经常用计算器计算排列数和组合数,容易忽视排列数公式和组合数公式,所以应做一些简单的带字母的排列数和组合数问题,以熟练公式,打牢基础。☆.二项式定理(1)二项式展开公式:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+⋯+Cnkan-kbk+⋯+Cnnbn;二项展开式有以下特征:(应再次强调)A、它有n+1项;B、各项的次数和都等于二项式的次数n;C、字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n;D、各项的系数依次为0nC,1nC,2nC,⋯,nnCCn0+Cn1+⋯+Cnn=2n;Cn0-Cn1+⋯+(-1)nCnn=0,即Cn0+Cn2+Cn4+⋯=Cn1+Cn3+⋯=2n-1;(2)通项公式:二项式展开式中第k+1项的通项公式是:Tk+1=Cnkan-kbk;教学中应强调,这个通项公式是针对(a+b)n这个标准形式而言的,对于(b+a)n的展开式,Tk+1=Cnkbn-kak对于的(a-b)n展开式Tk+1=Cnkan-k(-b)k这表明它们与标准形式的通项公式是有区别的。教学中应强调,由于其通项一般记为1rT,r不是项数,r+1才是项数;反过来,当已知项数时,将它减去1,才得到r。(二)主要思想方法☆解排列组合应用题的基本思路:①乘法原理与加法原理使用方法有两种:①单独使用;②联合使用。②将具体问题抽象为排列组合问题,是解排列组合问题的关键一步③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题,其前提是“正难则反”;☆.解排列组合题的基本方法:①对于带限制条件的排列问题,通常从以下两种途径考虑:元素分析法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;二、应知应会知识1.会根据两个原理解决有关分配决策的问题(要正确区分分类和分步)(1)5位高中毕业生,准备报考3所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有()A.15种B.8种C.53种D.35种(2)四名医生分配到三所医院工作,每所医院至少一名,则不同的分配方案有_______种.(3)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有()A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种2.会用捆绑法、插空法处理元素相邻或不相邻问题(1)不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁两种不能排在一起,则不同的排法种数共有()A.12种B.20种C.24种D.48种(2)5人站成一排,其中A不在左端也不和B相邻的排法种数为()A.48B.54C.60D.66(3)用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数,要求1和2相邻,3与4相邻,5与6相邻,而7与8不.相邻,这样的八位数共有个.(用数字作答)3.会求某些元素按指定顺序排列的问题(1)七个人排成一行,则甲在乙左边(不一定相邻)的不同排法数有_________种.(2)某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后进行,又工程丁必须在丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同的排法种数是__________.(用数字作答)(3)今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有_______种不同的方法(用数字作答).4.会解与平均分组和非平均分组有关的问题(1)从4台甲型和5台乙型电视机中任...