高中数学 第3章 3.1.3空间向量基本定理同步训练 苏教版选修2-1VIP免费

3.1.3空间向量基本定理一、基础过关1．设命题p：a、b、c是三个非零向量；命题q：{a，b，c}为空间的一个基底，则命题p是命题q的____________条件．2．下列命题中真命题有________(填序号)．①空间中的任何一个向量都可用a，b，c表示；②空间中的任何一个向量都可用基向量a，b，c表示；③空间中的任何一个向量都可用不共面的三个向量表示；④平面内的任何一个向量都可用平面内的两个向量表示．3．已知a、b、c是不共面的三个向量，则下列选项中能构成一个基底的一组向量是__________．①2a，a－b，a＋2b②2b，b－a，b＋2a③a,2b，b－c④c，a＋c，a－c4．下列说法正确的是________(填序号)．①任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底；②不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底；③单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直；④不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底．5．在以下三个命题中，真命题的个数是________．①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，且{a，b，c}构成空间的一个基底．6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.7．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若EF＋λA1D＝0(λ∈R)，则λ＝______.8．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取PQ＝a，PR＝b，PS＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则GH＝__________________.(用a，b，c表示)二、能力提升9．若向量MA、MB、MC的起点M与终点A、B、C互不重合且无三点共线，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA、MB、MC成为空间一个基底的关系是________(填序号)．①OM＝OA＋OB＋OC②MA≠MB＋MC③OM＝OA＋OB＋OC④MA＝2MB－MC10．在空间平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连结对应顶点．设AA1＝a，AB＝b，AC＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量AM＋AN的结果是____________．11.如图所示，在正方体AC1中，取AB＝a，AD＝b，AA1＝c作为基底．(1)求BD1；(2)若M，N分别为边AD，CC1的中点，求MN.12.如图，平行六面体OABC—O′A′B′C′，且OA＝a，OC＝b，OO′＝c.(1)用a，b，c表示向量AC′；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH.三、探究与拓展13．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且OP＝2e1－e2＋3e3，OA＝e1＋2e2－e3，OB＝－3e1＋e2＋2e3，OC＝e1＋e2－e3.(1)判断P、A、B、C四点是否共面；(2)能否以{OA，OB，OC}作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量OP.答案1．必要不充分2．②③3．③4．③5．26．1－17．－8．－a＋b＋c9．③10．a＋b＋c11．解(1)BD1＝BD＋DD1＝BA＋AD＋DD1＝－a＋b＋c.(2)MN＝MC＋CN＝MD＋DC＋CC1＝AD＋AB＋AA1＝a＋b＋c.12．解(1)AC′＝AC＋CC′＝OC－OA＋OO′＝b＋c－a.(2)GH＝GO＋OH＝－OG＋OH＝－(OB′＋OC)＋(OB′＋OO′)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．13．解(1)假设四点共面，则存在实数x、y、z使OP＝xOA＋yOB＋zOC，且x＋y＋z＝1，即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)，比较对应项的系数，得到关于x、y、z的方程组解得与x＋y＋z＝1矛盾，故四点不共面；(2)若向量OA、OB、OC共面，则存在实数m、n使OA＝mOB＋nOC，同(1)可证，这不可能，因此{OA，OB，OC}可以作为空间的一个基底．令OA＝a，OB＝b，OC＝c，由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，联立得到方程组，从中解得所以OP＝17OA－5OB－30OC.