第二章推理与证明2.2.1.综合法和分析法【课标要求】1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题.自主学习基础认识|新知预习|综合法和分析法综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法框图表示P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…(Q表示要证明的结论)特点顺推证法或由因导果法逆推证法或执果索因法|练习|1．判断下列命题(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分析法必须是从结论推向已知．()(2)分析法的推理过程要比综合法优越．()(3)综合法的过程是演绎推理．()××√2．以下命题中，正确的是()A．综合法是执果索因的逆推法B．综合法是由因导果的顺推法C．综合法是因果互推的两头凑法D．综合法就是举反例解析：综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法．答案：B3．要证3－2>7－6成立只需证()A．(3－2)2>(7－6)2B．(3－7)2>(2－6)2C．(3＋6)2>(7＋2)2D．(3－2－7)2>(－6)2解析：要证3－2>7－6成立，即证3＋6>7＋2成立，因两数均为正数，故只需证(3＋6)2>(7＋2)2成立．答案：C课堂探究互动讲练类型一综合法的应用[例1]已知a，b>0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.【证明】证法一： a，b∈R＋且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.证法二： a，b∈R＋，∴a＋b≥2ab>0，1a＋1b≥21ab>0，∴(a＋b)1a＋1b≥4，又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.证法三： a，b∈R＋，∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ab·ba＝4，当且仅当a＝b时，取“＝”号.方法归纳综合法证明问题的步骤类型二分析法的应用[例2]：求证：3＋7<25.证明：因为3＋7和25都是正数，所以要证3＋7<25，只需证(3＋7)2<(25)2，展开得10＋221<20，只需证21<5，只需证21<25，因为21<25成立，所以3＋7<25成立.方法归纳分析法证明数学问题的方法方法归纳(1)“分析综合法”解决数学问题：“分析综合法”又叫混合型分析法，是同时从已知条件与结论出发，寻找其之间的联系而沟通思路的方法．在解题过程中，分析法和综合法是统一的，不能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相成，有时先分析后综合，有时先综合后分析．分析综合法的方法结构如图所示：已知条件―→中间结果→结论(2)“分析综合法”证明的步骤：在解决问题时，我们经常把综合法和分析法综合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论Q.若由Q可以推出P成立，就可证明结论成立，其证明模式可用框图表示如下：(其中Q1代表结论，P1代表要证的条件)．特别提醒：在平时的证明问题中，一般不是单纯地使用某一种证明方法，更多的是综合使用几种方法.跟踪训练设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明：法一：(分析法)要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．又因a＋b>0，故只需证a2－ab＋b2>ab成立，即需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．由此命题得证．法二：(综合法)a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2>0⇔a2－2ab＋b2>0⇔a2－ab＋b2>ab. a>0，b>0，∴a＋b>0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．∴a3＋b3>a2b＋ab2.|素养提升|综合法、分析法的区别与联系(1)区别(2)联系：分析法便于我们去寻找证明思路，而综合法便于证明过程的叙述，两种方法各有所长，因而在解决问题时，常先用分析法寻找解题思路，再用综合法有条理地表达证明过程，将两种方法结合起来运用，其思维模式框图为|巩固提升|1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C
