课时分层作业(七)二项式定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．设S＝(x－1)3＋3(x－1)2＋3(x－1)＋1，则S等于()A．(x－1)3B．(x－2)3C．x3D．(x＋1)3C[S＝[(x－1)＋1]3＝x3.]2．已知的展开式的第4项等于5，则x等于()A.B．－C．7D．－7B[T4＝Cx4＝5，则x＝－.]3．(x－y)10的展开式中x6y4的系数是()A．－840B．840C．210D．－210B[在通项公式Tk＋1＝C(－y)kx10－k中，令k＝4得x6y4的系数为C(－)4＝840.]4．使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7B[Tr＋1＝C(3x)n－r＝C3n－rx，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．]5．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项C[通项公式Tk＋1＝C()24－k＝Cx，故当k＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．]二、填空题6.的展开式中倒数第三项为________．[由于n＝7，可知，展开式共有8项，∴倒数第三项即为第六项，∴T6＝C(2x)2＝C·22·＝.]7．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．56[由题意知，C＝C，∴n＝8.∴Tr＋1＝C·x8－r·＝C·x8－2r，当8－2r＝－2时，r＝5，∴的系数为C＝56.]8．设二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．2[Tr＋1＝Cx6－r(－ax)r＝C(－a)r·x，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.]三、解答题9．化简：S＝1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC(n∈N＋)．[解]将S的表达式改写为：S＝C＋(－2)C＋(－2)2C＋(－2)3C＋…＋(－2)nC＝[1＋(－2)]n＝(－1)n.∴S＝(－1)n＝10．在的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．1[解](1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C(2)4＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)Tr＋1＝C(2)6－r＝(－1)r26－rCx3－r，令3－r＝2，得r＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.11.(3x－2)5的展开式中x2的系数为()A．296B．－296C．－1864D．－1376C[依题意，所求x2的系数为C×32×(－2)3＋2×(－2)5－1×C×33×(－2)2＝－720－64－1080＝－1864，故选C.]12．(多选题)对于二项式(n∈N＋)，下列四种判断正确的有()A．存在n∈N＋，展开式中有常数项B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项AD[二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx4r－n，由通项公式可知，当n＝4r(r∈N＋)和n＝4r－1(r∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项．]13．(一题两空)已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则n＝________，C＋C＋C＝________.632[C＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n＝729，∴n＝6，∴C＋C＋C＝C＋C＋C＝32.]14．已知正实数m，若x10＝a0＋a1(m－x)＋a2(m－x)2＋…＋a10(m－x)10，其中a8＝180，则m＝________.2[∵x10＝[m－(m－x)]10，∴a8＝Cm2(－1)8＝180，解得m＝±2，又m＞0，∴m＝2.]15．求的展开式的常数项．[解]法一：由二项式定理得＝＝C·＋C··＋C··()2＋C··()3＋C··()4＋C·()5.其中为常数项的有：C·中的第3项：CC··；C··()3中的第2项：CC··()3；展开式的最后一项：C·()5.综上可知，常数项为CC··＋CC··()3＋C·()5＝.法二：原式＝＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.求原式中展开式的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5，所以所求的常数项为＝.法三：由二项式定理的原理可知，展开式的常数项为：()5＋CC()3＋CC()＝24＋＝.2
