高中数学2.4导数的四则运算法则同步精练北师大版选修2-21.曲线y＝上点处切线的倾斜角为()．A．30°B．45°C．90°D．60°2．设f(x)＝，则f′(1)＝()．A．B．C．D．3．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值为()．A．B．C．D．4．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是()．A．0秒，2秒或4秒B．0秒，2秒或16秒C．2秒，8秒或16秒D．0秒，4秒或8秒5．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为()．A．直角B．0C．钝角D．锐角6．曲线y＝xsinx上点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为()．A．B．π2C．2π2D．(2＋π)27．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，，则a＝__________，b＝__________.8．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．9．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)．10．已知两条曲线f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．1参考答案1.答案：B解析：∵y＝，∴y′＝＝x2＋x，∴曲线y＝在点处切线的斜率为k＝(－1)2＋1×(－1)＝0，倾斜角为90°.2.答案：B解析：∵f(x)＝，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝.3.答案：B解析：∵f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，∴f′(x)＝3ax2＋18x＋6，∴f′(－1)＝3a－18＋6＝4，∴a＝.4.答案：D解析：∵s＝－4t3＋16t2，∴瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)．令v＝0可得t＝0,4或8.5.答案：B解析：f′(x)＝(exsinx)′＝ex·sinx＋ex·cosx＝ex(sinx＋cosx)．将x＝4代入得f′(4)＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin＜0.故在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角．6.答案：A解析：y′＝(xsinx)′＝x′sinx＋x(sinx)′＝sinx＋xcosx.当x＝时，k＝sin＝－1.2∴在点处的切线方程为y－＝，即y＝－x.∴y＝－x与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为.7.答案：0－1解析：∵f(x)＝ax2－bsinx，∴f′(x)＝2ax－bcosx，由条件知解得8.－4解析：由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，∴∴∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线可化为y＝，∴y′＝x，∴过点P的切线斜率为y′＝4.∴过点P的切线为：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.又∵过点Q的切线斜率为y′＝－2，3∴过点Q的切线为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.联立得x＝1，y＝－4，∴点A的纵坐标为－4.9.答案：解：∵f′(x)是一次函数，∴f(x)是二次函数，可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b.把f(x)和f′(x)代入已知方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.∴解得∴f(x)＝2x2＋2x＋1.10.解：由于f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝f′(x0)＝cosx0，k2＝g′(x0)＝－sinx0.若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．4
