课时分层作业(三)空间向量的坐标与空间直角坐标系(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝()A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)D．(2,1，－3)A[b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]2．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是()A．10x＋2y＋10z－37＝0B．5x－y＋5z－37＝0C．10x－y＋10z＋37＝0D．10x－2y＋10z＋37＝0A[由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A．]3．已知向量a＝(2,3)，b＝(k,1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是()A．－6B．－C．D．14C[由题意得a＋2b＝(2＋2k,5)，且a－b＝(2－k,2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝．]4．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝()A．2B．－2C．－2或D．2或－C[由cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝．]5．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为()A．3B．3C．2D．2B[|AB|＝＝＝，当a＝－1时，|AB|min＝＝3．]二、填空题6．已知a＝(1，x,3)，b＝(－2,4，y)，若a∥b，则x－y＝________．4[∵a∥b，∴b＝λa．∴∴∴x－y＝4．]7．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝1________．[(2a＋b)·c＝2a·c＋b·c＝－10，又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，∴cos〈b，c〉＝＝－，∵〈b，c〉∈[0，π]，∴〈b，c〉＝．]8．在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．6＋2[S△AOC＝S△BOC＝S△AOB＝×2×2＝2，S△ABC＝×|AB|2＝×8＝2，故三棱锥的表面积S＝6＋2．]三、解答题9．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，OA＋λOB与OB的夹角为120°，求λ的值．[解]∵OA＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)，∴OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，∴(OA＋λOB)·OB＝λ＋λ＝2λ，又|OA＋λOB|＝＝，|OB|＝．∴cos120°＝＝－，∴λ2＝，又＜0，即λ＜0，∴λ＝－．10．(1)已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，求x，y的值．(2)求与向量(－3，－4,5)共线的单位向量．[解](1)因为a∥b，所以存在实数λ，使a＝λb，所以(2,4,5)＝λ(3，x，y)，所以所以(2)向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量为±·(－3，－4,5)＝±(－3，－4,5)，即和．11．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形2C．直角三角形D．等腰直角三角形C[AB＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，∴|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89＝|AB|2．∴△ABC为直角三角形．]12．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°C[a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而|a|＝＝，所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°．]13．(一题两空)已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0，0,0)，点Q在直线OP上运动，QA·QB的最小值为________，此时点Q的坐标为________．－[设OQ＝λOP＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，∴QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA·QB＝6λ2－16λ＋10＝6－，∴QA·QB的最小值为－，此时λ＝，Q点的坐标为．]14．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________．或[设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得或]15．在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？[解]以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．由题意知A(0,0,0)，C(0,2,0)，B(，1,0)，B1(，1,2)，M．3又点N在CC1上，可设N(0,2，m)(0≤m≤2)，则AB1＝(，1,2)，MN＝，所以|AB1|＝2，|MN|＝，AB1·MN＝2m－1．如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量AB1和MN的夹角等于45°或135°．又cos〈AB1，MN〉＝＝．所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°．4
