专项强化训练(一)导数的综合应用1.(2015·汕头模拟)某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降低值x(单位:元,0≤x<9)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数.(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?【解题提示】(1)先写出多卖的商品数,则可计算出商品在一个星期的获利数,再依题意“商品单价降低1元时,一星期多卖出5件”求出比例系数,即可把一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(2)根据(1)中得到的函数,利用导数研究其极值,也就是求出函数的极大值,从而得出定价为多少元时,能使一个星期的商品销售利润最大.【解析】(1)依题意,设m=kx2,由已知得5=k·12,从而k=5,所以m=5x2,所以y=(14-x-5)(75+5x2)=-5x3+45x2-75x+675(0≤x<9).(2)因为y′=-15x2+90x-75=-15(x-1)(x-5),由y′>0得10;当s>20时,v′<0,所以s=20时,v取得最大值.因此李明向张林要求赔付价格s=20(元)时,获最大净收入.2.(2015·长春模拟)已知函数f(x)=1-,g(x)=x-lnx.(1)证明:g(x)≥1.(2)证明:(x-lnx)f(x)>1-.【证明】(1)g′(x)=,当01时,g′(x)>0,即g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.所以g(x)≥g(1)=1,得证.(2)f(x)=1-,f′(x)=,所以02时,f′(x)>0,即f(x)在(0,2)上为减函数,在(2,+∞)上为增函数,所以f(x)≥f(2)=1-,又由(1)x-lnx≥1,所以(x-lnx)f(x)>1-.3.已知函数f(x)=(x2+2x-2)·ex,x∈R,e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的极值.(2)若方程f(x)=m有两个不同的实数根,试求实数m的取值范围.【解题提示】(1)根据求极值的方法求极值.(2)画出图象,根据图象分析求解.【解析】(1)f′(x)=(2x+2)·ex+(x2+2x-2)·ex=(x2+4x)·ex,令f′(x)=0,解得x1=-4或x2=0,列表如下:x(-∞,-4)-4(-4,0)0(0,+∞)f′(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可得当x=-4时,函数f(x)有极大值f(-4)=6e-4;当x=0时,函数f(x)有极小值f(0)=-2.(2)由(1)及当x→-∞,f(x)→0;x→+∞,f(x)→+∞大致图象为如图,“方程f(x)=m有两个不同的实数根”转化为函数f(x)的图象与y=m的图象有两个不同的交点,故实数m的取值范围为(-2,0]∪{6e-4}.4.(2015·包头模拟)已知函数f(x)=x2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若关于x的方程f(x)=kx-1有实数解,求实数k的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为{x|x>0},f′(x)=x(2lnx+1).令f′(x)=x(2lnx+1)>0,得2lnx+1>0,即x>;令f′(x)=x(2lnx+1)<0,得2lnx+1<0,即00),设g(x)=xlnx+,g′(x)=lnx+,g′(1)=0,当01时,g′(x)>0,g(x)单调递增,所以x>0时,g(x)min=g(1)=1.所以k≥1,k的取值范围是[1,+∞).5.(2014·四川高考)已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.71828…为自然对数的底数.(...
