1.不等式的基本性质-(2)VIP免费

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§1不等式的性质[自主学习]1．实数大小的比较求差法a>b⇔；a0，b>0时，ab>1⇔；ab<1⇔；ab＝1⇔.a－b>0a－b<0a－b＝0a>bab，那么；如果bb，b>c，那么，.(3)性质3(加法性质)：如果a>b，那么.①移项法则：如果a＋b>c，那么.②推论(加法法则)：如果a>b，c>d，那么.bba>ca＋c>b＋ca>c－ba＋c>b＋d(4)性质4(乘法性质)：如果a>b，c>0，那么，如果a>b，c<0，那么acb>0，c>d>0，那么.②推论2(平方法则)：如果a>b>0，那么a2b2.③推论3(乘方法则)：如果a>b>0，那么anbn(n为正整数)．④推论4(开方法则)：如果a>b>0，那么a1nb1n(n为正整数)．ac>bcac＞bd>>>[合作探究]1．怎样比较两个代数式的大小？提示：整式、分式一般用求差的方法来比较大小；而算式则一般用求商的方法来比较大小．2．两个不同向不等式的两边可以分别相减或相除吗？提示：不可以，两个不同向不等式的两边不能分别相减，也不能分别相除，在需求差或商时，可利用不等式性质化为同向不等式相加或相乘，例如：a>b且cb且－c>－d，⇒a－c>b－d.3．若a>b>0，当n<0时，an>bn成立吗？提示：不成立，如当a＝3，b＝2，n＝－1时，3－1＝13<12＝2－1.比较大小[例1]1．已知x≠0，求证：(x2－1)2＜x4＋x2＋1.证明：(x2－1)2－(x4＋x2＋1)＝x4－2x2＋1－x4－x2－1＝－3x2＜0，∴(x2－1)2＜x4＋x2＋1.1.设a>b>0，求证：a2－b2a2＋b2>a－ba＋b.证明：法一：a2－b2a2＋b2－a－ba＋b＝a－b[a＋b2－a2＋b2]a2＋b2a＋b＝2aba－ba2＋b2a＋b>0，所以原不等式成立．设a>b>0，求证：a2－b2a2＋b2>a－ba＋b.证明：法二： a>b>0，故a2>b2>0.故左边>0，右边>0.∴左边右边＝a＋b2a2＋b2＝1＋2aba2＋b2>1.∴原不等式成立.比较大小的常用方法及步骤：1．求差法：a≥b⇔a－b≥0，a≤b⇔a－b≤0.一般步骤是：作差→变形→判号→定论．变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段．2．求商法：当a＞0，b＞0时，把比较a，b的大小转化为比较ab与1的大小关系，此即为作商比较法．理论依据是不等式的性质：若a＞0，b＞0，则ab≥1⇔a≥b，ab≤1⇔a≤b.一般步骤为：作商→变形→与1比较大小→定论．[例2]对于实数a，b，c判断下列命题的真假．(1)若a>b，则acbc2，则a>b；(3)若aab>b2；(4)若a|b|；(5)若c>a>b>0，则ac－a>bc－b.利用不等式的性质辨别不等式的正误2．若a＞b＞c，则下面不等式中一定成立的是()A．a|c|＞b|c|B．ab＞acC．a－|c|＞b－|c|D.1a＜1b＜1c答案：C在利用不等式性质判断不等式真假时，关键是依据题设条件，正确恰当地选择使用不等式的性质，当否定一个结论时只需举一个反例即可；有时也可采用特殊方法比较判断．利用不等式的基本性质求代数式的取值范围[例3]已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围为________，xy的取值范围为________．[思路点拨]利用不等式性质，先求－y和1y的取值范围，再求x－y和xy的取值范围．[精解详析]x－y＝x＋(－y)，所以需先求出－y的取值范围；xy＝x×1y，所以需先求出1y的取值范围． 28＜y＜33，∴－33＜－y＜－28，133＜1y＜128.又60＜x＜84，∴27＜x－y＜56，6033＜xy＜8428.即2011＜xy＜3.[答案]27＜x－y＜562011＜xy＜3本题不能直接用x的取值范围去减或除y的取值范围，应严格利用不等式的基本性质去求得取值范围；其次在有些题目中，还要注意整体代换的思想，即弄清要求的与已知的“取值范围”间的联系．3．已知①－1≤a＋b≤1，②1≤a－b≤3，求3a－b的取值范围．解：设3a－b＝x(a＋b)＋y(a－b)＝(x＋y)a＋(x－y)b.∴x＋y＝3，x－y＝－1，∴x＝1，y＝2.由①＋②×2得：－1＋2≤(a＋b)＋2(a－b)≤1＋3×2，即1≤3a－b≤7.利用不等式的性质证明不等式[例4]若a>b>0，ceb－d[精解详析] c－d>0， a>b>0，∴a－c>b－d>0.(*)由(*)式知1a－c<1b－d.又 e<0，∴ea－c>eb－d.4.若a>b>0，c

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