课时分层作业(五)数列(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列A[an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．]2．数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是()A．an＝(－1)n(n∈N*)B．an＝(－1)n(n∈N*)C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)D．an＝(－1)n＋1(n∈N*)B[把前四项统一形式为－，，－，，可知它的一个通项公式为an＝(－1)n.]3．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为()A.B．－C.D．－D[易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－.]4．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于()A．20B．28C．0D．12A[a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，∴a2a3＝2×10＝20.]5．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第几项()A．4B．8C．7D．12B[令2n2－3＝125得n＝8或n＝－8(舍)，故125是第8项．]二、填空题6．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第________项．9[令＝－3，即－＝－3，∴n＝9.]7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________.2[∴a2－a＝2，∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1.又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3，∴a3＝(－1)3＋3＝2.]8．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.1①②[因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…，所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.]三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)，，，，…；(2)1,3,6,10,15，…；(3)7,77,777，….[解](1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝.(2)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝.(3)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有an＝(10n－1)．10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求a2019；(3)2019是否为数列{an}中的项？[解](1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有解得k＝4，b＝－2，∴an＝4n－2.(2)a2019＝4×2019－2＝8074.(3)由4n－2＝2019得n＝505.25∉N*，故2019不是数列{an}中的项．[能力提升练]1．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为()A.B．5C．6D.B[a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.]2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，3)C．(－∞，2)D．(－∞，3]B[an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．]3．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．9[由an＝19－2n>0，得n<.∵n∈N*，∴n≤9.]4．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有________个点．2n2－n＋1[观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1个点．]5．如果连续自然数数列a1，a2，…，an，…满足lg2＋lg1＋＋lg＋…＋lg＝lgn，那么这个数列最多有几项？并求数列的前n项和Sn.[解]由已知得：2···…·＝n，即2····…·＝n.∵a1，a2，…，an，…为连续自然数，∴上式可化简为2·＝n，即2·＝n，∴2n＋2a1＝na1，即(n－2)(a1－2)＝4.若要n最大，且n∈N＋，则只能有∴∴该数列最多有6项，首项为3，∴S6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＝33.3
