1.3.1利用导数判断函数的单调性VIP免费

导数与函数的单调性【考点梳理】函数的导数与单调性的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数．【考点突破】考点一、判断或证明函数的单调性【例1】已知函数已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，讨论f(x)的单调性.[解析]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.若a≤0，则f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；x∈时，f′(x)<0，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.【类题通法】用导数判断或证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．【对点训练】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)，试讨论f(x)的单调性．[解析]f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－.当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减；当a＜0时，x∈(－∞，0)∪时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减.考点二、求函数的单调区间【例2】已知函数f(x)＝－alnx，a∈R，求f(x)的单调区间．[解析]因为f(x)＝－alnx，所以x∈(0，＋∞)，f′(x)＝x－＝.(1)当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上为单调递增函数.(2)当a>0时，f′(x)＝，则有①当x∈(0，)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，).②当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间.当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，)，单调递增区间为(，＋∞).【类题通法】求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)在定义域内解不等式f′(x)＞0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)＜0，得单调递减区间．【对点训练】已知函数f(x)＝ax2－a－lnx，a∈R，求f(x)的单调区间．[解析]由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0).当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减.当a>0时，由f′(x)＝0有x＝，当x∈时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递减区间为.当x∈时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为.综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间.当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.考点三、已知函数的单调性求参数【例3】已知函数f(x)＝x3－ax－1.若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．[解析]因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0].【变式1】函数f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．[解析]因为f′(x)＝3x2－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3].【变式2】函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．[解析]由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立.因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f(x)在(－1,1)上为减函数.【变式3】函数f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．[解析] f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0). f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3).【类题通法】根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′...