课时知能训练一、选择题1．(2012·东莞模拟)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2－a5＝0，则＝()A．5B．8C．－8D．15【解析】∵8a2－a5＝0，∴8a1q＝a1q4，∴q3＝8，即q＝2.∴＝＝1＋q2＝5.【答案】A2．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．12【解析】∵am＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，∴m＝11.【答案】C3．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝()A.B.C.D.【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意知即解得∴S5＝＝.【答案】B4．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为()A.或5B.或5C.D.【解析】设等比数列的公比为q，当公比q＝1时，由a1＝1得，9S3＝9×3＝27，而S6＝6，故不合题意．当公比q≠1时，由9S3＝S6及a1＝1，得：9×＝，解得q＝2.所以数列{}的前5项和为1＋＋＋＋＝.【答案】C5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝()A．2B.C.D．3【解析】S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，由＝3，即S6＝3S3知，S9－S6＝4S3，∴S9＝7S3，∴＝＝.【答案】B二、填空题6．(2012·珠海模拟)已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.【解析】由(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)得a＝5，因此等比数列{an}的首项为4，公比q＝＝＝.∴an＝4×()n－1.【答案】4×()n－17．等比数列{an}的公比q＞0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________.【解析】∵an＋2＋an＋1＝anq2＋anq＝6an，∴q2＋q－6＝0，又q＞0，∴q＝2，由a2＝a1q＝1得a1＝，∴S4＝＝.【答案】8．数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________.【解析】an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝＝2n－1.【答案】2n－1三、解答题9．(2012·中山质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋c.(1)求c的值并求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝Sn＋2n＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2＋c，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝∵数列{an}为等比数列，∴a1＝2＋c＝1，∴c＝－1.∴数列{an}的通项公式an＝2n－1.(2)∵bn＝Sn＋2n＋1＝2n＋2n，∴Tn＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋…＋n)＝2(2n－1)＋n(n＋1)＝2n＋1－2＋n2＋n.10．已知数列满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)用心爱心专心1(1)求证数列{an＋1}是等比数列；(2)求{an}的通项公式及{an}的前n项和Sn.【解】(1)由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)又a1＋1≠0，所以＝2.∴数列{an＋1}为公比是2的等比数列．(2)由(1)知an＋1＝(a1＋1)qn－1，即an＝(a1＋1)qn－1－1＝2·2n－1－1＝2n－1.故Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.11．(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．【解】(1)设等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意得a－d＋a＋a＋d＝15，解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝.所以{bn}是以为首项，2为公比的等比数列，则数列{bn}的通项公式bn＝·2n－1＝5·2n－3.(2)Sn＝＝5·2n－2－，即Sn＋＝5·2n－2所以S1＋＝，＝＝2.因此数列{Sn＋}是以为首项，公比为2的等比数列．用心爱心专心2
