1.1.2平面上的伸缩变换VIP专享VIP免费

学习目标掌握参数方程和普通方程的互化难点：参数方程化为普通方程参数方程与普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：参数方程通过消去参数得到普通方程．(2)普通方程化参数方程：首先确定变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，其次将x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则____________就是曲线的参数方程．x＝f（t），y＝g（t）温馨提示:在互化的过程中，必须使x，y的取值范围保持一致．参数方程与普通方程的互化[典例1](1)化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．①x＝1＋2t，y＝3－4t(t为参数)；解：(1)①因为x＝1＋2t，所以2t＝x－1.因为－4t＝－2x＋2，所以y＝3－4t＝3－2x＋2.即y＝－2x＋5(x≥1)，它表示一条射线．②x＝cosθ＋sinθ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．②因为x＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，所以x∈[－2，2]．x2＝1＋2sinθcosθ，将sinθcosθ＝y代入，得x2＝1＋2y.x∈[－2，2]所以普通方程为y＝12x2－12(－2≤x≤2)，它是抛物线的一部分．(2)根据所给的条件，把曲线的普通方程化为参数方程．①y2＝2x，y＝t(t为参数)；(2)①把y＝t代入y2＝2x得x＝12t2，所以x＝12t2，y＝t(t为参数)，这就是所求的参数方程(2)根据所给的条件，把曲线的普通方程化为参数方程．②x2＋(y－1)2＝1，x＝cosθ(θ为参数)．②把x＝cosθ代入x2＋(y－1)2＝1.(y－1)2＝sin2θ，y－1＝±sinθ，y＝1±sinθ.不妨取y＝1＋sinθ，则所求的参数方x＝cosθ，y＝1＋sinθ(θ为参数)．归纳升华1．消去参数的方法主要有三种．①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数．②利用三角恒等式借助sin2θ＋cos2θ＝1等消去参数．③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法例如借助t＋1t2－t－1t2＝4等从整体上消去参数．2．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．3．普通方程化为参数方程时，选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．[变式训练](1)化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．①x＝2＋2cosθ，y＝3＋2sinθ(θ为参数)；解：(1)①由方程x－2＝2cosθ，y－3＝2sinθ，得(x－2)2＋(y－3)2＝4.故表示的是以(2，3)为圆心，半径为2的圆．[变式训练](1)化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．②x＝et＋e－t，y＝2（et－e－t）(t为参数)．②x＝et＋e－t，y2＝et－e－t⇒x＋y2＝2et，x－y2＝2e－t.⇒x＋y2x－y2＝4.因为et＋e－t≥2，所以x≥2.所以化为普通方程为x＋y2x－y2＝4(x≥2)．表示焦点在x轴上的双曲线的右半支(2)根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．①（x－1）23＋（y－2）25＝1(θ为参数)；(2)①将x＝3cosθ＋1代入（x－1）23＋（y－2）25＝1得y＝2＋5sinθ.所以x＝3cosθ＋1，y＝5sinθ＋2(θ为参数)，这就是所求的参数方程．(2)根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．②x2－y＋x－1＝0(t为参数)．②将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1所以x＝t＋1，y＝t2＋3t＋1(t为参数)，这就是所求的参数方程高考链接：将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方法．(1)代入法：先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．(2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．(3)将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围确定参数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．作业：p201双基自测