(新课程)高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》课件-新人教A版必修4VIP专享VIP免费

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式问题提出1.在三角函数中，我们学习了哪些基本的三角函数公式？2.对于30°，45°，60°等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可进一步求出150°，210°，315°等角的三角函数值.我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据.3.若已知α，β的三角函数值，那么cos(α－β)的值是否确定？它与α，β的三角函数值有什么关系？这是我们需要探索的问题.探究（一）：两角差的余弦公式思考1：设α，β为两个任意角,你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)32323232121212321221思考2：我们设想cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系，观察下表中的数据，你有什么发现？思考3：一般地，你猜想cos(α－β)等于什么？cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ思考4：如图，设α，β为锐角，且α＞β，角α的终边与单位圆的交点为P1,∠P1OP＝β，那么cos(α－β)表示哪条线段长？MPP1Oxycos(α－β)=OM思考5：如何用线段分别表示sinβ和cosβ？PP1OxyAsinβcosβ思考6：cosαcosβ＝OAcosα，它表示哪条线段长？sinαsinβ＝PAsinα，它表示哪条线段长？PP1OxyAsinαsinβcosαcosβBC思考7：利用OM＝OB＋BM＝OB＋CP可得什么结论？sinαsinβcosαcosβPP1OxyABCMcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβxyPP1MBOACsincoscoscossinsin+11思考8：上述推理能说明对任意角α，β，都有cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ成立吗？思考9：根据cosαcosβ＋sinαsinβ的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？思考10：如图，设角α，β的终边与单位圆的交点分别为A、B，则向量、的坐标分别是什么？其数量积是什么？ΟΑΟBBOAxyαβ=(cosα,sinα)ΟΑ=(cosβ,sinβ)OBuuurcoscossinsinOAOBabab×=+uuuruuur思考11：向量与的夹角θ与α、β有什么关系？根据数量积定义，等于什么？由此可得什么结论？OBOA×uuuruuurα＝2kπ＋β＋θ或β＝2kπ＋α＋θBOAxyαβθcos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ思考12：公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ称为差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？C探究（二）：两角差的余弦公式的变通思考1：若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.思考2：利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？cosβ＝cos[(α－β)－α]＝cos(α－β)cosα＋sin(α－β)sinα.思考3：若cosα＋cosβ＝a，sinα＋sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？22)cos(22ba思考4：若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？22)cos(22ba例1利用余弦公式求cos15°的值.例2已知β是第三象限角,求cos(α－β)的值.4in,5sa=,2papæö÷çÎ÷ç÷èø，5cos,13b=-理论迁移例3已知且,求的值.1cos()cossin()sin,3abbabb+++=)cos(4223,小结作业1.在差角的余弦公式的形成过程中，蕴涵着丰富的数学思想、方法和技巧，如数形结合，化归转换、归纳、猜想、构造、换元、向量等，我们要深刻理解和领会.2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而确定该角的三角函数值符号.作业：P127练习：1，2，3，4.3.在差角的余弦公式中，α，β既可以是单角，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，2β＝(α＋β)－(α－β)等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.()66ppaa=+-