9.2.1等差数列VIP专享VIP免费

等差数列的概念及通项公式田敏引例：1896年，雅典举行了第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届了，奥运会的举办年份依次排列如下：1896，1900，1904，1908，1912，……，2008，2012，2016，……，_____第1届1a2a3a33a30a29a5a4a____第2届第_?_届第33届试问：去年2016年是第几届奥运会？你能预测出第33届奥运会的举办时间么？你能判断出2040年会不会举办奥运会么？观察这个数列有什么特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于4.定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.)2(1ndaann即)1(1ndaann或数列{an}为等差数列an-an-1=d（n）2、常数列a，a，a，…是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由想一想公差d=03、数列0，1，0，1，0，1是否为等差数列?若是，则公差是多少?若不是，说明理由1、若将数列①中各项的次序作一次颠倒所得的数列29,22,15,8,1;是否为等差数列？若是，是否与原数列相同?公差是多少?若不是，说明理由公差d=-7不是公差d=7①1,8,15,22,29；注意：公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数，负数，也可以为0等差中项观察如下的两个数之间，插入一个什么数后，三个数就会成为一个等差数列：（1）2，，4（2）-1，，5（3）-12，，0（4）0，，032-60如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。2baA你能用a与b表示A吗？思考?思考?通项公式的推导已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是da2-a1=da2=a1+da3-a2=da3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4-a3=dan+1－an=da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3da5呢?a9呢?……由此得到an=a1+（n-1）d,nN∈+,d是常数不完全归纳法21aad32aad43aad12nnaad1nnaad相加得1(1)naand…等差数列的通项公式dnaan)1(1a1、an、n、d知三求一例题讲解例1（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列–5,-9,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。分析（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.解：(1)由题意得：a1=8,d=5-8=-3,n=20∴a20=8+（20-1）×19=-49分析（2）要想判断-401是否为这个数列中的项，关键是要求出通项公式，看是否存在正整数n,使得an=-401。(2)由题意得：a1=-5,d=-9-(-5)=-4∴这个数列的通项公式是：an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1令-401=-4n-1,得n=100∴-401是这个数列的第100项。1896，1900，1904，1908，1912，……，2008，2012，2016，……，_____问题：去年2016年是第几届奥运会？你能预测出第33届奥运会的举办时间么？你能判断出2040年会不会举办奥运会么？1a2a3a4a5a29a.189244)1(1896,4,18961nnadan易知.202433,20241892334)2(33年举办届奥运会预计在所以第a.31201631,201618924)1(届奥运会年是第所以，得令nnan.372040,37,042018924)3(届奥运会年会举办第所以得令nnan31a33a2024解决开头提出的问题例2在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求通项公式an.511214101131aadaad解得：解：由题意得：∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.∴an=3n-5123ad.24712}{10461是不是数列当中的项，并判断，求，中，已知在等差数列aaaaan解：.3,52)5(1411161daadadaaaa.73,125211dada.2,11da解得.122)1(1nnan.19110210a.2.51,4212*Nnnan解得令.}{24中的项不是数列所以na练习求基本量a1和d：根据已知条件列方程，由此解出a1和d，再代入通项公式。像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称方程思想。这是数学中的常用思想方法之一。题后点评求通项公式的关键步骤：例3、已知数列{na}的通项公式qpnan，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？解：])1([)(1qnpqpnaann...