排序不等式四川省绵阳中学徐娟教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.一、复习准备：1.提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）1.柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数，则(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2)≥③.,当且仅当bi=0(i=1,2,3,…,n)或存在一个数k,使得④时等号成立.(a1b1+a2b2+…+anbn)2ai=kbi(i=1,2,3,…,n)2.二维形式的三角不等式：设x1、y1、x2、y2R∈，那么:当且仅当=时，等号成立.3.三维形式的三角不等式：设x1、y1、z1、x2、y2、z2∈R，那么:当且仅当，=k时，等号成立.问题：设ai∈Rbj∈R，且a1≤a2≤•••≤an,b1≤b2≤•••≤bn，c1,c2•••,cn是b1,b2,•••,bn任一个排列,则S=a1c1+a2c2+•••+ancn.①我们S=a1c1+a2c2+•••+ancn叫数组(a1,a2,•••,an),(b1,b2,•••,bn)的乱序和,②我们S1=a1b1+a2b2+•••+anbn叫数组(a1,a2,•••,an),(b1,b2,•••,bn)的顺序和,③我们S2=a1bn+a2bn-1+•••+anb1叫数组(a1,a2,•••,an),(b1,b2,•••,bn)的反序和.问：什么情况下S取得最大小？什么情况下S取得最小？分析:利用排列组合的知识可知共有6个不同的和数，本题可以直接计算比较得答案.对应关系和备注（1,2,3）（4,5,6）（1,2,3）（4,6,5）（1,2,3）（5,4,6）（1,2,3）（5,6,4）（1,2,3）（6,4,5）（1,2,3）（6,5,4）思考1：已知两组数1，2，3和4,5,6,若123,,ccc是4，5，6的一个排列，则123123ccc的最大值是_____,最小值是_____.3228323131292928二、讲授新课：1.教学排序不等式：顺序和反序和乱序和乱序和乱序和乱序和如果数大一点呢?思考2：已知两组数1，2，3和45,25,30,若123,,ccc是45，25，30的一个排列，则123123ccc的最大值是_____,最小值是_____.220180可以通过直觉猜测到答案.对应关系和备注（1,2,3）（25,30,45）（1,2,3）（25,45,30）（1,2,3）（30,25,45）（1,2,3）（30,45,25）（1,2,3）（45,25,30）（1,2,3）（45,30,25）220205215195185180顺序和反序和乱序和乱序和乱序和乱序和对应关系和备注（1,2,3）（25,30,45）1112233220Sababab同序和（1,2,3）（25,45,30）2112332205Sababab乱序和（1,2,3）（30,25,45）3122133215Sababab乱序和（1,2,3）（30,45,25）4122331195Sababab乱序和（1,2,3）（45,25,30）5132132185Sababab乱序和（1,2,3）（45,30,25）6132231180Sababab反序和发现:反序和≤乱序和≤顺序和.21SSS即顺序和乱序和反序和猜想：猜想结论：设ai∈Rbj∈R，且a1≤a2≤•••≤an,b1≤b2≤•••≤bn，c1,c2•••,cn是b1,b2,•••,bn任一个排列,则S=a1c1+a2c2+•••+ancn.①我们S=a1c1+a2c2+•••+ancn叫数组(a1,a2,•••,an),(b1,b2,•••,bn)的乱序和,②我们S1=a1b1+a2b2+•••+anbn叫数组(a1,a2,•••,an),(b1,b2,•••,bn)的顺序和,③我们S2=a1bn+a2bn-1+•••+anb1叫数组(a1,a2,•••,an),(b1,b2,•••,bn)的反序和.问：什么情况下S取得最大小？什么情况下S取得最小？证明： a1≤a2≤•••≤an,b1≤b2≤•••≤bn为两组实数，c1,c2•••,cn是b1,b2,•••,bn任一个排列,且b1,b2,•••,bn的全排列只有n!个，∴S=a1c1+a2c2+•••+ancn①的不同值只有有限个(个数≤n!)，其中必有最大值和最小值.考虑①式，若c1≠b1,则有某ck=b1(k>1),c1>ck.将①式中，c1、ck对换，得：S′=a1ck+•••+akc1+•••+ancn②②①−得：S′−S=a1ck+akc1−a1c1−akck=(ak−a1)(c1−ck)≥0.这说明将①式中的第一项调换为a1b1后和式不减小.若c1=b1,则转而考察c2，并进行类似讨论..类似地，可以证明，将①式中的第一项调换为a1b1，第二项调换为a2b2后.和式不减小.如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci}由小到大排序的情况，即S≤S2.同样可以证明，最小和数是反序和，即S1≤S.∴S1≤S≤S2.至此我们证明了前面的猜想是正确的.定理(排序不等式...
