2.3.2双曲线的简单性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则它的标准方程是()A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1【解析】设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)．∴a2＋a2＝62，∴a2＝18.故双曲线方程为－＝1.【答案】B2．若双曲线x2＋ky2＝1的离心率是2，则实数k的值是()A．－3B．C．3D．－【解析】双曲线x2＋ky2＝1可化为＋＝1，故离心率e＝＝2，解得k＝－.【答案】D3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1【解析】由顶点在y轴上得该双曲线焦点位于y轴，排除A、D，B项，a＝2，b＝2，c＝2，∴2a＋2b＝·2c符合题意．【答案】B4．双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r＝()A.B．2C．3D．6【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r＝＝.【答案】A5．双曲线－＝1和椭圆＋＝1(a＞0，m＞b＞0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1＝，椭圆的离心率e2＝，由e1e2＝1得(a2＋b2)(m2－b2)＝a2m2，故a2＋b2＝m2，因此三角形为直角三角形．【答案】B二、填空题6．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝________.【解析】 2a＝2,2b＝2，∴＝2，∴m＝－.【答案】－7．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝，则其渐近线方程为________．【解析】由于焦点在y轴，则渐近线方程为y＝±x.1而e＝＝，则＝－1＝，＝，∴渐近线方程为y＝±x.【答案】y＝±x8．双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，以F1F2为边作等边△MF1F2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．【解析】如图，点N为MF2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F1N|＝c，|NF2|＝c.又 |NF1|－|NF2|＝2a，即c－c＝2a.∴e＝＝＝＋1.【答案】＋1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程：(1)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x；(2)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．【解】(1)设以y＝±x为渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝；当λ<0时，a2＝－9λ，∴2a＝2＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为－＝1和－＝1.(2)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程，得λ＝－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为－＝1.10．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．【解】椭圆D的两个焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0，且a2＋b2＝25，又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为－＝1.[能力提升]1．设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为()A．0B．1C．2D．3【解析】由根与系数的关系，得a＋b＝－tanθ，ab＝0，则a，b中必有一个为0，另一个为－tanθ.不妨设A(0,0)，B(－tanθ，tan2θ)，则直线AB的方程为y＝－xtanθ.根2据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y＝±xtanθ，显然直线AB是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．【答案】A2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，∴·＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，故选D.【答案】D3．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB面积为________.【解析】A(3,0)，F(5,0)，取...
