学业分层测评(二)弧度制(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题中，是假命题的序号为________．①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1°的角是周角的，1rad的角是周角的；③1rad的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．【解析】①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关．【答案】④2．下列各式正确的是________．①－270°＝－；②405°＝；③335°＝；④705°＝.【解析】－270°＝－270×＝－；405°＝405×＝；335°＝335×＝；705°＝705×＝.故①②④正确．【答案】①②④3．下列表示中不正确的是________．①终边在x轴上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}；②终边在y轴上的角的集合是；③终边在坐标轴上的角的集合是；④终边在直线y＝x上的角的集合是α＋2kπ，k∈Z.【解析】④错误，终边在直线y＝x上的角的集合是.【答案】④4．(2016·南通高一检测)如图1110所示，图中公路弯道处的弧长l＝________(精确到1m)．图1110【解析】根据弧长公式，l＝αr＝×45≈47(m)．【答案】47m5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】设圆心角为α，半径为r，弧长为l，则解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2，∴α＝＝1或4.【答案】1或46．已知角α的终边与的终边相同，在0,2π)内终边与角的终边相同的角为________.1【导学号：06460005】【解析】由题意得α＝2kπ＋(k∈Z)，故＝＋(k∈Z)，又∵0≤<2π，所以当k＝0,1,2时，有＝，π，π满足题意．【答案】，π，π7．(2016·扬州高一检测)如图1111，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．图1111【解析】∵40°＝40×＝，30°＝30×＝，∴S＝r2·＋r2·＝.【答案】8．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．【解析】设圆的半径为R，则圆的内接正三角形的边长为R，弧长等于R的圆心角的弧度数为α＝＝.【答案】二、解答题9．已知α＝2000°.(1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈0,2π))的形式．(2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ.【解】(1)α＝2000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.(2)θ与α的终边相同，故θ＝2kπ＋π，k∈Z，又θ∈(4π，6π)，所以k＝2时，θ＝4π＋π＝π.10．如图1112所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．图1112【解】(1)将阴影部分看成是由OA逆时针转到OB所形成．故满足条件的角的集合为.(2)若将终边为OA的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB所形成，故满足条件的角的集合为α＋2kπ，k∈Z.(3)将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转πrad而得到，所以2满足条件的角的集合为.(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转πrad后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为.能力提升]1．(2016·泰州高一检测)已知某上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．【解析】8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是×4＝.【答案】2．若角α的终边与的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.【解析】与α终边相同的角的集合为α.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋＜4π，化简得：－＜k＜，∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，∴α＝－π，－π，，π.【答案】－π，－π，，π3．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝________.【解析】如图所示，∴A∩B＝－4，－π]∪0，π]．【答案】－4，－π]∪0，π]4．用30cm长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】设扇形的圆心角为α，半径为r，面积为S，弧长为l，则有l＋2r＝30，∴l＝30－2r，从而S＝·l·r＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－2＋.又∵r＞0，且l＝30－2r＞0，∴0＜r＜15，∴当半径r＝cm时，l＝30－2×＝15(cm)，扇形面积的最大值是cm2，这时α＝＝2rad，∴当扇形的圆心角为2rad，半径为cm时，面积最大，最大面积为cm2.3
