第二讲第四节摆线和渐开线一、选择题(每小题5分，共20分)1．当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是()A．(6,0)B．(6,6π)C．(6，－12π)D．(－π，12π)解析：当φ＝2π时，得，故点(6，－12π)为所求．答案：C2．已知一个圆的参数方程是(θ为参数)，那么圆的摆线方程中参数φ＝对应的点的坐标与点之间的距离为()A．－1B．C．D．解析：根据圆的参数方程可知圆的半径是3，那么其对应的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程，得，代入距离公式，可得距离为＝.答案：C3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有()A．①③B．②④C．②③D．①③④解析：本题主要考查渐开线和摆线的有关概念和参数方程的问题，对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案：C4.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…中做“正方形的渐开线”，其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是()A．3πB．4πC．5πD．6π解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)15．给出某渐开线的参数方程(φ为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，且当参数φ取时对应的曲线上的点的坐标是________.解析：本题考查对渐开线参数方程的理解．根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程(φ为参数)进行对照可知，这里的r＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝分别代入x和y，可得即得对应的点的坐标．答案：36．渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到的曲线的两焦点间的距离为________.解析：根据渐开线方程，知基圆的半径为6，则基圆的方程为x2＋y2＝36，把横坐标伸长为原来的2倍，得到的椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，对应的焦点坐标为(6，，0)和(－6，0)，它们之间的距离为12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知圆C的参数方程是(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线满足什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程．解析：(1)圆C平移后圆心为O(0,0)，它到直线x－y－6＝0的距离d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(φ为参数)．8．已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是(φ为参数)．☆☆☆9．(10分)已知圆C的半径为2，圆周上有一点A，当圆C沿直线l滚动时，(1)求CA中点的轨迹方程；(2)若在CA的延长线上取点Q，使|AQ|＝|CA|，求Q的轨迹方程．解析：(1)以直线l为x轴，点A落在直线上的初始位置为原点建立坐标系，当圆C转过θ角时，圆心的坐标为(2θ，2)，根据已知，点A的轨迹是平摆线，此时A点坐标为(2θ－2sinθ，2－2cosθ)，设CA中点P的坐标为(x，y)，则即为P点的轨迹方程．(2)设点Q的坐标为(x，y)．∵|AQ|＝|CA|，∴A为CQ的中点，故有∴，为Q点的轨迹方程．2
