课时作业15抛物线的简单性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程是(C)A．y2＝xB．y2＝3xC．y2＝6xD．y2＝－6x解析：顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，由题意知＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.2．过抛物线y2＝16x的焦点的最短弦长为(A)A．16B．8C．32D．4解析：过抛物线焦点的最短弦长即通径长，故长度为2p＝16.3．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|P1P2|的值为(C)A．5B．6C．8D．10解析：由焦点弦公式易知|P1P2|＝y1＋y2＋2＝8.4．已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM||MN|＝(C)A．2B．12C．1D．13解析：如图，过M作准线的垂线MH，设∠FAO＝∠MNH＝α，则sinα＝＝＝＝.5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)A．2B．2C．2D．4解析：考查了抛物线的焦半径公式、焦点三角形的面积，设点P的坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，选C.6．设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是(B)A．4B．4或－41C．－2D．2或－2解析：由题意，设抛物线的标准方程为：x2＝－2py，由题意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y.又点(k，－2)在抛物线上，∴k2＝16，k＝±4.7．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点，若MA·MB＝0，则k＝(D)A.B.C.D．2解析：抛物线y2＝8x焦点坐标为(2,0)，直线方程为y＝k(x－2)，由得k2(x－2)2＝8x，即k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则MA＝(x1＋2，y1－2)，MB＝(x2＋2，y2－2)，由MA·MB＝0得(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，将y1＝k(x1－2)，y2＝k(x2－2)，x1＋x2＝，x1·x2＝4代入上式中，整理得(k－2)2＝0，∴k＝2.8．等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(B)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2解析：不妨设点A在x轴上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由得A(2p,2p)，∴B(2p，－2p)，|AB|＝4p.∴S△ABO＝×4p×2p＝4p2.二、填空题9．若抛物线y2＝mx与椭圆＋＝1有一个共同的焦点，则m＝±8.解析：椭圆焦点为(－2,0)和(2,0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m＝±8.10．一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a＝±2.解析：设正三角形边长为x.36＝x2sin60°，∴x＝12.当a>0时，将(6，6)代入y2＝ax得a＝2，当a<0时，将(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，故a＝±2.11．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)，焦点F，A(x0，y0)，B(x0，－y0)，则∴x＋(2p－9)x0＝0.① OA⊥BF，∴kOA·kBF＝－1.∴·＝－1，即＝－1.∴x0＝p.②把②代入①得p＝2.∴所求抛物线方程为y2＝4x.13．设抛物线C：y2＝4x，O为C的顶点，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：OA·OB是一个定值．解：(1) 焦点坐标为F(1,0)，2∴直线l的方程为y＝x－1，与y2＝4x联立消去y可得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，从而焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，与y2＝4x联立消去x可得y2－4ky－4＝0.设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＋yB＝4k，yAyB＝－4.∴xAxB＝(kyA＋1)(kyB＋...
