第二讲第二节第四课时双曲线的参数方程、抛物线的参数方程一、选择题(每小题5分，共20分)1．参数方程(θ为参数)表示的曲线为()解析：x2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθ·cosθ＝1＋2y，∴y＝x2－，且x＝sinθ＋cosθ＝sin∈[－，]．答案：C2．参数方程(α为参数)的普通方程为()A．y2－x2＝1B．x2－y2＝1C．y2－x2＝1(|x|≤)D．x2－y2＝1(|x|≤)解析：x2＝2＝1＋sinα.y2＝2＋sinα，∴y2－x2＝1.又x＝sin＋cos＝sin∈[－，]．即|x|≤.答案：C3．双曲线(α为参数)的两焦点坐标是()A．(0，－4)，(0,4)B．(－4，0)(4，0)C．(0，－)，(0，)D．(－，0)，(，0)解析：双曲线(α为参数)的标准方程为－＝1，焦点在y轴上，c2＝a2＋b2＝48.答案：A4．参数方程(0≤θ<2π)表示轨迹()A．双曲线的一支，过点B．抛物线的一部分，过点C．双曲线的一支，过点D．抛物线的一部分，过点解析：因为x2＝1＋sinθ，所以x2＝2y表示抛物线，又因为x＝＝∴x∈[0，]，是抛物线的一部分．且当θ＝π时，有x＝1，y＝，即曲线过点.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．曲线(t为参数)的焦点坐标为________.1解析：将参数方程化为普通方程(y－1)2＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y2＝4x向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0,1)．答案：(0,1)6．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过顶点的两弦OA⊥OB，则分别以OA，OB为直径的两圆的另一交点Q的轨迹是________.解析：设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，则以OA为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt1y＝0，以OB为直径的圆的方程为x2＋y2－2ptx－2pt2y＝0，即t1，t2为方程2pxt2＋2pyt－x2－y2＝0的两根，∴t1t2＝.又OA⊥OB，∴t1t2＝－1，即x2＋y2－2px＝0，∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为半径的圆．答案：以(p,0)为圆心，p为半径的圆三、解答题(每小题10分，共20分)7.如图所示，直线l经过双曲线－y2＝1的右焦点F2，且与双曲线的右支交于A，B两点．将A，B分别与双曲线的左焦点F1连接起来，求|F1A|·|F1B|的最小值．解析：如图所示，由已知得右焦点F2(，0)．设直线l的参数方程为(t为参数)，代入－y2＝1，化简得(5cos2θ－4)t2＋2tcosθ＋1＝0.则|t1－t2|＝＝，t1t2＝.由双曲线定义，知|F1A|－|F2A|＝4，故|F1A|＝4＋|F2A|.同理，|F1B|＝4＋|F2B|.故|F1A|·|F1B|＝(4＋|F2A|)(4＋|F2B|)＝16＋4(|F2A|＋|F2B|)＋|F2A|·|F2B|＝16＋4|t1－t2|＋|t1t2|＝16＋≥16＋＝.当且仅当cosθ＝0时，等号成立．所以|F1A|·|F1B|的最小值为.8．已知抛物线C：(参数为s)，过抛物线C的焦点F作倾斜角为α的直线l，交抛物线C于A，B.(1)将抛物线化为普通方程，并写出直线l以t为参数的参数方程；(2)若AF＝3FB，求倾角α.解析：(1)x＝2＝2，所以抛物线y2＝4x，l的参数方程(2)t2sin2α＝4＋4tcosα，即t2sin2α－4tcosα－4＝0.记A(t1)，B(t2)则消去t1，t2，得32＝，2tan2α＝3，故tanα＝，所以α＝.☆☆☆9．(10分)水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法消除水流的部分功能，以保护水库坝基及下游堤坝的安全．如右图，已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坝角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米，求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．解析：建立如图所示的直角坐标系．设轨迹上任意一点为P(x，y)．由题意鼻坝出口处的水流速度为v＝＝.取时间t为参数，则有x＝vtcos30°＝t，y＝vtsin30°－gt2＝t－gt2.所以挑出水流的轨迹的参数方程为消去参数t，得y＝－x2＋x.取y＝－18，得挑出的水流与坝基的水平距离为x＝18≈31.2(m)．所求轨迹方程为y＝－x2＋x，x∈[0,18]．3
