第五讲最大公约数与最小公倍数【知识导引】一、约数的概念与最大公约数约数又叫因数(在正整数范围内）整数a能被整数b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。最大公约数:如果一个数既是数a的约数，又是数b的约数，称为[a,b]的约数。几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。1.求最大公约数的方法①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。例如：2313711，22252237，所以(231,252)3721；②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。例如：2181239632，所以(12,18)236；③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。例如，求600和1515的最大公约数：15156002315；6003151285；315285130；28530915；301520；所以1515和600的最大公约数是15。2.最大公约数的性质①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；③几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n。3.求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；ba即为所求。二、倍数的概念与最小公倍数对于整数m，能被n整除（n/m）,那么m就是n的倍数。如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。undefined1.求最小公倍数的方法①分解质因数法求最小公倍数例如：2313711，22252237，所以22231,252237112772；②短除法求最小公倍数例如：2181239632，所以18,12233236；③公式法：[,](,)ababab2.最小公倍数的性质①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；ba即为所求。例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。例如：1,414,4232,3三、最大公约数与最小公倍数的常用性质1.两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果m为A、B的最大公约数，且Ama，Bmb，那么ab、互质，所以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①ABmambmmab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A、B、AB、AB及最小公倍数的约数。2.两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即(,)[,]ababab。3.对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：567210，210就是567的最小公倍数。②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：678336，而6,7,8的最小公倍数为3362168③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。【例题解析】【A组——基础夯实】例1两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？解：由ab=[a，b]×（a，b）可得：另一个数为，252×4÷28=36答：另一个数是36。例2求437与323最大公约数是多少？解：运用辗转相除法：437÷323=1…114；323÷114=2…95；114÷95=1…19,95÷19=5，那么（437,323）=19答：437与323的最大公约数是19。例3...
