高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行课时作业 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

2.4用向量讨论垂直与平行[基础达标]若OA＝(1，2，3)，OB＝(－1，3，4)，则以下向量中能成为平面OAB的法向量的是()A．(1，7，5)B．(1，－7，5)C．(－1，－7，5)D．(1，－7，－5)解析：选C.因为(－1，－7，5)·(1，2，3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(－1，3，4)＝1－21＋20＝0，所以向量(－1，－7，5)能成为平面OAB的法向量．若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．lαD．l与α斜交解析：选B. u＝－2a，a与u共线，∴l⊥α.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C.CA＝(－5，－1，7)，CB＝(－2，3，－1)，由于CA·CB＝0且|CA|≠|CB|，故选C.已知平面α与β的一个法向量分别是a＝(x，2，2)，b＝(1，3，y)，若α⊥β，且|a|＝2，则y＝()A．－5B．－1C．4或－4D．－5或－1解析：选D. α⊥β，∴a⊥b，即x＋6＋2y＝0①，又|a|＝2，∴x2＋22＋22＝24②，由①②解得y＝－5或y＝－1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，E是BC的中点，则A1E与平面AB1C1的位置关系是()A．相交但不垂直B．A1E∥平面AB1C1C．A1E⊥平面AB1C1D．A1E平面AB1C1解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系．取|AB|＝1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，E(，，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，A1E＝(，，－1).AB1＝(1，0，1)，AC1＝(0，1，1)，由于A1E·AB1≠0，A1E·AC1≠0，故选A.已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，则直线AB与平面yOz交点C的坐标是________．解析：令C的坐标为(0，y，z)，则由AB＝λAC，得解得答案：(0，2，6)设平面α的一个法向量为(3，2，－1)，平面β的一个法向量为(－2，－，k)，若α∥β，则k等于________．1解析： α∥β，∴(3，2，－1)＝λ(－2，－，k)，即，解得k＝.答案：平面α与平面β的法向量分别是m，n，直线l的方向向量是a，给出下列论断：①m∥n⇒α∥β；②m⊥n⇒α⊥β；③a⊥m⇒l∥α；④a∥m⇒l⊥α.其中正确的论断为________(把你认为正确论断的序号填在横线上)．解析：m∥n⇒α∥β或α、β重合，①不正确；②m⊥n⇒α⊥β，②正确；③a⊥m⇒l∥α或lα，③不正确；a∥m⇒l⊥α，④正确．答案：②④如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点．证明：EF∥平面SAD.证明：建立如图所示的空间直角坐标系．设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，F.EF＝.取SD的中点G，连接AG，则AG＝.因为EF＝AG，所以EF∥AG，又AG平面SAD，EF⃘平面SAD，所以EF∥平面SAD.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是B1B，AB，BC的中点．证明：D1F⊥平面AEG.证明：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则D1F＝D1A1＋A1A＋AF＝－AD－AA1＋AB＝a－b－c，AG＝AB＋BG＝AB＋BC＝a＋b，AE＝AB＋BE＝AB＋BB1＝a＋c，∴D1F·AG＝(a－b－c)·(a＋b)＝0，∴D1F⊥AG，即D1F⊥AG.D1F·AE＝(a－b－c)·(a＋c)＝0，∴D1F⊥AE，即D1F⊥AE，又AE∩AG＝A，∴D1F⊥平面AEG.[能力提升]已知平面α内有一点A(2，－1，2)，它的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B．(1，3，)C．(1，－3，)D．(－1，3，－)2解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量PA与平面的法向量n是否垂直，即判断PA·n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验．对于选项A，PA＝(1，0，1)，则PA·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝(1，－4，)，则PA·n＝(1，－4，)·(3，1，2)＝0，故选B.如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，有以下四个结论：①BD·AC≠0；②∠BAC＝60°；③三棱锥DABC是正三棱锥；④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是________(请把正确结论的序号都填上)．解析： DA、DB、DC两两垂直，且|DA|＝|DB|＝|DC|，∴△ABC为正三角形；D在平面ABC上的射影在△ABC中心，故三棱锥DABC为正三棱锥，故①④不正确，②③正确．答案：②③(1)...