4.6正弦定理和余弦定理核心考点·精准研析考点一正弦定理1.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对边的边长.若cosC+sinC-=0,则的值是()A.-1B.+1C.+1D.22.已知锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则的取值范围是()A.B.C.D.3.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=________.【解析】1.选B.在△ABC中,由cosC+sinC-=0,由两角和的正弦公式得2sinsin=2,所以C+=B+=,解得C=B=,所以A=.由正弦定理得===+1.2.选D.因为B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,所以=,所以==tanA.因为△ABC是锐角三角形,所以解得
0,所以cosA=.由条件及正弦定理得sinA=2sinCcosA,即=2×sinC,所以sinC=.考点二余弦定理【典例】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=b,sinB=sinC.(1)求cosA的值.(2)求cos的值.【解题导思】序号联想解题(1)看到“sinB=sinC”,想到运用正弦定理,转化为b=c,又由“a-c=b”运用余弦定理求得cosA.(2)看到“cos”想到公式cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.利用(1)得出的cosA的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cos的值【解析】(1)在△ABC中,由=及sinB=sinC,可得b=c,又由a-c=b,得a=2c,所以cosA===.(2)在△ABC中,由cosA=,可得sinA=.于是,cos2A=2cos2A-1=-,sin2A=2sinA·cosA=.所以cos=cos2Acos+sin2Asin=×+×=.用正、余弦定理求解三角形基本量的方法第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.第二步:求解.将已知代入定理求解.1.(2019·长沙模拟)已知在△ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=AD,BC=2AD,则sinC的值为()A.B.C.D.【解析】选A.设AB=AD=2a,则BD=a,则BC=4a,所以cos∠ADB===,所以cos∠BDC==-,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cosC===,而C∈,所以sinC=.2.(2020·晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠ABC=,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BE⊥AC,BE交AD于点F.(1)求AC的长.(2)求cos∠DAC及AF的长.【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sin∠BAC=,sin∠ABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC===5.(2)由sin∠BAC=,sin∠ABC=,得cos∠BAC=,cos∠ABC=,所以cosC=-cos(∠BAC+∠ABC)=-cos∠BACcos∠ABC+sin∠BACsin∠ABC=-×+×=.因为BE⊥AC,所以CE=BCcosC=6×=,AE=AC-CE=.在△ACD中,AC=5,CD=BC=2,cosC=,由余弦定理得AD===,所以cos∠DAC===.由BE⊥AC,得AFcos∠DAC=AE,所以AF==.考点三正、余弦定理的综合应用命题精解读考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题;怎么考:考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题.学霸好方法1.判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=π这个结论.2.在三角形中求边、角的方法(1)若求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.(2)若求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.判断三角形个数、形状【典例】1.在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确定2.在△ABC中...
