解直角三角形的应用（方案设计问题）1．如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为()．A．4mB．mC．mD．m2．如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD＝__________(结果用根号表示)．3．一段路基的横断面是直角梯形，如图(1)所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石进行坡面改造，使坡度变小，达到如图(2)所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？4．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？(参考数据：≈1.732，≈1.414)5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2.1/7(1)求证：DC＝BC；(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，当BE∶CE＝1∶2，∠BEC＝135°时，求sin∠BFE的值．6．如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC＝6m，AB＝9m，中间平台宽度DE为2m，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB＝30°，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM.(精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73)7．如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i(即tanα)为1∶1.2，坝高为5m．现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1m，形成新的背水坡EF，其坡度为1∶1.4.已知堤坝总长度为4000m.(1)完成该工程需要多少土方？(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率．甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？8．(创新应用)腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图①)．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图②)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果精确到0.1米，参考数据＝1.73)2/73/7参考答案1解析：在Rt△ABC中，＝cos30°，则AB＝＝2×＝m.答案：C2解析：过点B作BE⊥CD，垂足为E，在Rt△BCE中，CE＝BE＝BC×sin45°＝(m)，过点B作BF⊥AD，垂足为F，则在Rt△ABF中，BF＝ABsin30°＝300(m)，∴CD＝CE＋DE＝CE＋BF＝300＋(m)．答案：(300＋)m3解：由题图(1)知BE⊥DC，BE＝30m，sinα＝0.6.在Rt△BEC中， sinα＝，∴BC＝＝50(m)．根据勾股定理，得EC＝40m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则S梯形ABCD＝S梯形A1B1C1D1.∴20×30＋×30×40＝20×20＋×20·E1C1，解得E1C1＝80(m)．∴改建后的坡度i＝B1E1∶E1C1＝20∶80＝1∶4.4解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC＝PC·tan30°，BC＝PC·tan45°. AC＋BC＝AB，∴PC·tan30°＋PC·tan45°＝100.∴·PC＝100.∴PC＝50(3－)≈50×(3－1.732)≈63.4＞50.4/7答：森林保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．5解：(1)证明：过A作DC的垂线AM交DC于M(如图)，则AM＝BC＝2，AB＝MC＝1.又tan∠ADC＝＝2，∴DM＝＝1.又MC＝1，∴DC＝2，DC＝CB．(2)等腰直角三角形．证明： DE＝BF，∠EDC＝∠FBC，DC＝BC，∴△DEC≌△BFC．∴CE＝CF，∠ECD＝∠BCF.∴∠ECF＝∠BCF＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE＝∠BCD＝90°，即△ECF是等腰直角三角形．(3)设BE＝k，则CE＝CF＝2k，∴EF＝. ∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°，∴∠BEF＝90°.∴BF＝＝3k.∴sin∠BFE＝.6解：设DF＝xm． ∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴CF＝DF＝xm.∴BF＝BC－CF＝(6－x)m.∴EN＝DM＝BF＝(6...
