河南省淇县2011-2012学年高一数学下学期2.4《平面向量的数量积》导学案沪教版2.4【温馨寄语】快乐源自心灵的选择。【学习目标】1.理解平面向量数量积的概念。2.能用平面向量的数量积表示向量的模及向量的夹角。3平面向量数量的性质的应用。【学习过程】问题提出1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.探究（一）:平面向量数量积的背景与含义思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结果是向量还是数量？思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积a·b何时为正数？何时为负数？何时为零？思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，那么︱a︱cosθ的几何意义如何？思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，︱a︱cosθ叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？思考8：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何探究（二）：平面向量数量积的运算性质思考1：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？思考2：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？1思考3：︱a·b︱与︱a︱︱b︱的大小关系如何？为什么？思考4：a·b与b·a是什么关系？为什么？思考5：对于实数λ，(λa)·b有意义吗？它可以转化为哪些运算？思考6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意义吗？它与a·c＋b·c相等吗？为什么思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为什么？思考8：对于非零向量a，b，c，若a·b＝a·c，那么b＝c吗？思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是否成立？为什么？思考10：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？理论迁移例1已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的夹角为120°，求a·b.例2已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).例3已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？小结作业P108习题2.4A组：1，2，3，6，7，82
