(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中横线上)1．下列求导运算正确的是________．①′＝1＋②(log2x)′＝③(5x)′＝5xlog5e④(x2cosx)＝2xsinx解析： (x＋)′＝1－，∴(logax)′＝，(5x)′＝5xln5；(x2cosx)′＝2xcosx＋x2(－sinx)．∴②正确．答案：②2．曲线y＝x3＋x＋1在点(1,3)处的切线方程是________．解析：由y′＝3x2＋1，得y′|x＝1＝4，所以所求方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.答案：y＝4x－13．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a等于________．答案：4．若函数f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为________．解析：由已知，得f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，则f′(1)＝1－2f′(1)＋1，故f′(1)＝.答案：5．曲线y＝x2－3x上点P处的切线平行于x轴，则P点坐标为________．解析：y′＝2x－3，由题意，得2x－3＝0，从而x＝，故P点的坐标为(，－)．答案：(，－)6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于________．解析： f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3时取得极值，∴f′(－3)＝30－6a＝0.a＝5.答案：57．函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值依次是________．解析：y′＝6x2－6x－12＝6(x2－x－2)＝6(x－2)(x＋1)．令y′＝0，知x＝2或x＝－1.∴在[0,2]上f′(x)≤0，在[2,3]上f′(x)≥0.∴y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,2]上递减，在[2,3]上递增．∴ymin＝f(2)＝16－12－24＋5＝－15.而f(0)＝5，f(3)＝2×27－3×32－12×3＋5＝－4.∴ymax＝f(0)＝5.答案：5，－158．已知物体的运动方程是s＝t3－3t2＋9t，则当t＝________时，加速度为10.解析：s′＝t2－6t＋9＝v即瞬时速度，再对v求导才是加速度，令v′＝2t－6＝10，则t＝8.答案：89．函数y＝2x＋sinx的单调增区间为________．解析：y′＝2＋cosx，由y′＝2＋cosx>0，知x∈R.答案：(－∞，＋∞)10．函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为________．解析：f′(x)＝3(x－a)(x＋a)(a>0)，可知f(x)在x＝－a处取得极大值，在x＝a处取得极小值，∴，解得a>.答案：11．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则f(0)＋f(2)与2f(1)的大小关系为________．解析：当x－1≥0，即x≥1时，f′(x)≥0，∴f(x)在[1，＋∞)上递增，∴f(1)2f(1)12．对任意x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是________．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：0≤a≤2113．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间(－3，－)内单调递增；②y＝f(x)在区间(－，3)内单调递增；③y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．上述判断中正确的是________．解析：由图知，x∈(－∞，－2)∪(2,4)时，f′(x)<0，x∈(－2,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，－2)和(2,4)上递减，在(－2,2)和(4，＋∞)上递增，经分析只有③正确．答案：③14．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170P－P2.最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)________．解析：L(P)＝PQ－20Q＝Q(P－20)＝(8300－170P－P2)(P－20)＝－P3－150P2＋11700P－166000，所以，L′(P)＝－3P2－300P＋11700.令L′(P)＝0，解得P＝30或P＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23000元．答案：23000元二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x3＋mx2－m2x＋1(m为常数，且m>0)有极大值9.(1)求m的值；(2)若斜率为－5的直线是曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．解：(1)...
