8.2向量的数量积VIP免费

8.2.1平面向量的夹角8.2.2平面向量的数量积aaa是向量（1）aa3方向相同与时，当aa0)2(方向相反与时，当aa0为零向量时，＝当a00000aa注意：aaaa＝－时，＝－当＝时，＝当特别地：11aa//已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。BOAθOAB当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；OAB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.BOAabθ从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。我们学过功的概念，即一个物体在力的作用下产生位移（如图）FsFs力F所做的功W可用下式计算W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角规定:零向量与任一向量的数量积为0。babababa记作：的数量积，与向量叫作向量那么我们把的夹角为、向量一般地，如果两个非零cos0cosbaba即：00a注意：向量的数量积是一个数量。2aaa“.”不能省零向量与其它向量的夹角根据讨论需要确定BCAB与ACAB求：，为边长是6的正三角形例、已知三角形ABCABC60120叫作中，我们把在数量积的定义coscosbbaba的值向线段的方向上的投影，即有在向量1OBabABB1OABB1OAB(B1)O11120OBOBOB的模等于向量的值有向线段时，当112OBOB等于的值有向线段时，当021等于的值有向线段时，当OBOABθ|b|cosθabB1ba等于a的长度||a方向上的投影在ab与cos||b的乘积。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？a·b=|a||b|cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。当θ=90°时a·b为零。如何运用此结论判断三角形形状？如何运用此结论判断三角形形状？cos||baba||||||)4(bababababa反向时、）当（2同向时、）当（ba103baba垂直时、）当（baba对非零向量a,b||||cosbaba对任意向量a,b讲义例2数量积的运算性质数量积的运算性质0cos1aaaaR）（，有对于22aa即：cabacbabababaabba)4(3)2(cbacba注意：练习：√×××××√(1)若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．(2)若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．(3)若a≠0，a·b=0，则b=0(4)若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．(5)若a≠0，a·b=b·c，则a=c(6)若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．(7)对任意向量a有22||aa个其中真命题的个数＝）（＝）（是相等的向量；与，则）若（向量；是模相等且互相垂直的）（下列命题：是两个单位向量，给出、已知___413//2,1,222babababababa1个其中正确的命题有那么如果使都存在一个负向量－）任意一个向量（、已知下列命题：____;)4(;)3(;0,0)2(;0)(13cbacbacbacbaaakaaaa1求实数k的值垂直ba与kbak4,b2,a(2)已知b2a3，求3π夹角为的b与a且3,b2,a例、(1)已知，课后练习：8.2（1）夹角与垂直，求与垂直，与都是非零向量，且和例、已知babababababa274573dcmbamdbacbaba为何值时，当的夹角为与例、已知,3,533,2,3补充用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知如图所示，已知⊙⊙OO，，ABAB为直径，为直径，CC为为⊙⊙OO上任意一点。求证上任意一点。求证∠∠ACB=90°ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。ACCB�0ACCB�解：解：设则，由此可得：,AOaOCb�,ACabCBab�ACCBabab�2222||||abab220rr即，∠ACB=90°0CBAC