高二数学寒假专题——导数的综合应用与高考人教实验版（B）知识精讲VIP免费

高二数学寒假专题——导数的综合应用与高考人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：寒假专题——导数的综合应用与高考二.知识分析【命题趋势】导数是高中数学的重点内容之一，也是高考的考查重点，在历年高考试题中占有较大的比重，它除了考查导数的基础知识、基本运算，还利用导数思想和方法解决难度较大的综合题．如研究函数的性质（单调性、极值和最值），解决实际生活中的利润最大、用料最省、效率最高等优化问题．【高考预测】随着高考的逐步完善，结合考题特点，涉及本章知识的试题仍会以选择、填空题的形式出现，主要考查导数的意义和运算；解答题主要以导数的意义为主线，以基本初等函数，实际应用为背景的应用题、开放性问题为主要题型；也有一些与几何、代数、三角、解析几何等有关知识结合在一起的综合性题目．这些题目具有构思巧妙、独特新颖、解法灵活等特点，成为近几年新教材高考卷的一大热点，根据2005、2006年的高考试题，可以预测2007年及以后的高考中导数的应用仍会以中档题（甚至上升为把关题）的形式出现。定积分是新增内容，预测分割、近似替代、作和、求极限的思想将在高考题中体现，曲边形的面积、变力做功、变速直线运动的路程等实际问题将在选择、填空题中出现，本类考题，估计是中档或者容易题．【应用分析】涉及导数与定积分知识的应用问题、综合问题，关键是深刻理解导数与定积分的原始概念，理清应用问题、综合问题的基本要求，最终借用导数或定积分来解决．例1、已知x、y为正实数，且满足关系式22x2x4y0，求xy的最大值．分析：题中有两个变量x和y，首先应选择一下主要变量，将x，y表示为某一变量（x或y或其他变量）的函数关系，实际问题的转化，同时根据题设条件确定变量的取值范围，再利用导数（或均值不等式等）求函数的最大值．解：方法1：222xx221y0yxx2y4，，2xx2x21yx由0xx20x2解得2x0设)2x0(xx2x21xy)x(f2当2x0时，222xx22)x23(x]xx2)x1(xxx2[21)x('f用心爱心专心令0)x('f，得23x或x=0（舍）833)23(f，又0)2(f∴函数)x(f的最大值为833即x·y的最大值为833。方法2：由0y4x2x22得)0y0x(1y4)1x(22，设)0(sin21ycos1x，)cos1(sin21yx，设)cos1(sin21)x(f则]cos)cos1(sin[21)('f2)21)(cos1(cos)1coscos2(212令0)('f，得1cos或21cos3a0，，此时43y23x，833)](f[833)3(fmax，即当43y23x，时，833)yx(max例2.求抛物线)1x(4y2及)x1(4y2所围成图形的面积。解：如图所示，两曲线交两点，由)x1(4y)1x(4y22，得交点（0，2），（0，－2）且两抛物线关于y轴是对称图形。所以它们围成的面积是它们在第一象限围成面积的4倍。316)12yy(4dy)4y1(4S203220用心爱心专心例3.设函数2xxa)x(gxlnx2)x(f，。命题p：函数)x(g)x(f在)1[x，上是增函数；命题q：不等式)x(g)x(f对一切1x恒成立。如果两个命题p和q中有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围。解：0x2xa)1x(2x2ax11)x('g)x('fp对一切1x恒成立)x1x(2a对一切x≥1恒成立4a1a0a1)1(g)1(fq p和q中有且只有一个真命题，当p真q假时4a1；当p假q真时a不存在综上：a的取值范围是]41(，。例4.已知a>0，函数：*)Nn)0[x()ax()ax(2)x(fnnn1n，，，（1）求函数f(x)的最小值。（2）证明：*)Nn0b0a()2ba(2bannn，，解：（1）令0)xa(nnx2)x('f1n1n1n得1n1n)xa()x2(axxax2当ax0时，axx20)x('f故)x(f在［0，a］上递减。当x>a，0)x('f，故f(x)在（a，+∞）上递增。所以，当x=a时，f(x)的最小值为0)a(f（2）由b>0，有0)a(f)b(f即0)ba()ba(2)b(fnnn1n故*)Nn0b0a()2ba(2bannn，，用心爱心专心【部分高考题选析】样题一（2005·广东）函...