1.3相似三角形的判定及性质第1课时相似三角形的判定A级基础巩固一、选择题1.如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则有()A．△ADE∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD解析：在△AED和△CBD中，AE∶BC＝AD∶CD＝1∶2，∠EAD＝∠BCD，所以△AED∽△CBD.答案：B2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形，则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：因为等腰三角形底边上的高分这个三角形为两个全等的三角形，全等三角形一定相似，所以这个三角形可以是等腰三角形；又因为直角三角形斜边上的高分这个三角形为两个相似三角形，所以这个三角形也可以是直角三角形．答案：D3．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是()解析：首先求得△ABC三边的长，然后分别求得A、B、C、D选项中各三角形的三边的长，然后根据三组对边的比相等的两个三角形相似，即可求得答案．答案：A4.如图所示，在△ABC中，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，且＝.下列结论正确的是()A．△ABM∽△ACBB．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACMD．△CMN∽△BCA1解析：CM＝CN，即∠AMC＝∠MNC，即∠AMB＝∠ANC.又＝，即△AMB∽△ANC.答案：B5.如图所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位线，△ABC与△AFG的相似比是3∶2，则△ADE与△AFG的相似比是()A．3∶4B．4∶3C．8∶9D．9∶8解析：因为△ABC与△AFG的相似比是3∶2，所以AB∶AF＝3∶2，又因为△ABC与△AED的相似比是2∶1，即AB∶AE＝2∶1.所以△AED与△AFG的相似比k＝＝·＝×＝.答案：A二、填空题6.如图所示，∠C＝90°，∠A＝30°，E是AB的中点，DE⊥AB于E，则△ADE与△ABC的相似比是________．解析：因为E为AB的中点，所以＝，即AE＝AB.在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝AB，又因为Rt△AED∽Rt△ACB，所以相似比为＝.故△ADE与△ABC的相似比为1∶.答案：1∶7．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线，若DC·AC＝19，则AD＝________．解析：因为∠A＝36°，AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝72°.又因为BD平分∠ABC，所以∠ABD＝∠CBD＝36°.所以∠BDC＝72°＝∠C，所以AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD，2所以＝.所以BC2＝AB·CD.所以AD2＝AC·CD.所以AD2＝19，所以AD＝.答案：8．△ABC的三边长分别是3cm，4cm，5cm，与其相似的△A′B′C′的最大边长是15cm，那么S△A′B′C′＝________．解析：由题意知：△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶3，又因为△ABC的三边长分别为3cm，4cm，5cm，所以△A′B′C′的三边长分别为9cm，12cm，15cm.又因为92＋122＝152，所以△A′B′C′为直角三角形，所以S△A′B′C′＝×9×12＝54(cm2)．答案：54cm2三、解答题9.如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线交AB的延长线于E，求证：△ECB∽△EAC.证明：连接EC，因为EF是CD的中垂线，所以EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD.又因为∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB，又因为CD为∠ACB的平分线，则∠ACD＝∠DCB，所以∠A＝∠ECB.又∠CEA为公共角，所以△ECB∽△EAC.10.如图所示，在△ABC(AB>AC)的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P，求证：＝.证明：过点C作CM∥AB，交DP于点M.因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.又AD∥CM，∠ADE＝∠CME，∠AED＝∠CEM，所以∠CEM＝∠CME，所以CE＝CM.因为CM∥BD，所以△CPM∽△BPD，所以＝，即＝.3B级能力提升1．若△ABC与△DEF相似，∠A＝60°，∠B＝40°，∠D＝80°，则∠E的度数可以是()A．60°B．40°C．80°D．40°或60°解析：根据判定定理，可知∠E的度数可以是40°或60°.答案：D2．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，则△ABD∽________，BD2＝________．解析：因为AD∥BC，所以∠ADB＝∠DBC.又因为∠A＝∠BDC＝90°，所以△ABD∽△DCB.所以＝.所以BD2＝AD·BC.答案：△DCBAD·BC3．如图所示，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形．(1)当AC，CD，DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．解：(1)因为△PCD是等边三角形，所以∠PCD＝∠PDC＝60°，PD＝PC＝CD.从而∠ACP＝∠PDB＝120°.所以，当＝时，△ACP∽△PDB，即当CD2＝AC·BD时，△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时，∠APC＝∠PBD.所以∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60°＋∠DPB＝60°＋60°＝120°.4
