7.5.1等差与等比数列的综合问题核心考点·精准研析考点一基本量的运算1.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.82.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>03.(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是________.4.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),则m+n=________.【解析】1.选A.设等差数列的公差为d,由a2,a3,a6成等比数列可得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不为0,则d=-2,故{an}前6项的和为S6=6a1+d=6×1+×(-2)=-24.2.选B.因为数列{an}是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,所以=,解得a1=-d,所以S4=2=2=-d,所以a1d=-d2<0,dS4=-d2<0.3.设等差数列的首项为a1,公差为d,由a2a5+a8=0,S9=27,得解得a1=-5,d=2,所以S8==4(2a1+7d)=16.答案:164.设公差为d,则=a2a11(a⇒1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)(d≠0),整理得a1=2d,由a11=2(Sm-Sn),可得a1+10d=2,化简得(m2-n2)+3(m-n)=12,即(m-n)(m+n+3)=12,因为m>n>0,m,n∈N*,所以m=5,n=4,所以m+n=9.答案:9已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是()A.B.C.D.【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,由a3,a5,a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),======.等差数列、等比数列基本量的运算方法(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.考点二等差、等比数列的综合应用【典例】设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.【解题导思】序号题目拆解(1)①Sn=2an-a1将Sn=2an-a1利用an=Sn-Sn-1转化为an与an-1的关系,由Sn=2an-a1,将a2、a3用a1表示②a1,a2+1,a3成等差数列根据关系列方程,得a1(2)①记数列的前n项和为Tn由(1)写出的表达式,表示出Tn②求使得|Tn-1|<成立的n的最小值由|Tn-1|<解关于n的不等式【解析】(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).所以公比q=2.从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.(2)由(1)得=,所以Tn=++…+==1-.由|Tn-1|<,得<,即2n>1000.因为29=512<1000<1024=210,所以n≥10.于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题:求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.(2)注意解题细节:在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.【误区警示】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式备选】已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.(2)求++…+.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,d>0,{bn}的公比为q,则an=1+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有解得或(舍去).故an=n,bn=2n-1.(2)由(1)知Sn=1+2+…+n=n(n+1),所以==2,所以++…+=2=2=.已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求等比数列{an}的通项公式.(2)对n∈N*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.因为q≠1,所以q=,所以等比数列{an}的通项公式为an=.(2)由题意得bn=·3n=·,Tn=·=....
