第23练导数与函数的单调性、极值、最值[明晰考情]1.命题角度：讨论函数的单调性、极值、最值以及利用导数求参数范围是高考的热点.2.题目难度：偏难题．考点一利用导数研究函数的单调性方法技巧(1)函数单调性的判定方法：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在此区间内单调递减．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：若可导函数f(x)在某个区间内单调递增(或递减)，则可以得出函数f(x)在这个区间内f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，从而转化为恒成立问题来解决(注意等号成立的检验)．(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．1．已知函数f(x)＝ex＋(a≠0，x≠0)在x＝1处的切线与直线(e－1)x－y＋2018＝0平行，求a的值并讨论函数y＝f(x)在(－∞，0)上的单调性．解 f′(x)＝ex－，f′(1)＝e－＝e－1，∴a＝1.∴f′(x)＝ex－＝，令h(x)＝x2ex－1，则h′(x)＝(2x＋x2)ex，∴当x∈(－∞，－2)时，h′(x)>0；当x∈(－2,0)时，h′(x)<0.则h(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减．∴当x∈(－∞，0)时，h(x)≤h(－2)＝－1<0，即当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(－∞，0)上单调递减．2．已知函数f(x)＝lnx＋，其中常数k>0，讨论f(x)在(0,2)上的单调性．解因为f′(x)＝－－1＝＝－(x>0，k>0)．①当0k>0，且>2，所以当x∈(0，k)时，f′(x)<0，当x∈(k，2)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数；1②当k＝2时，＝k＝2，f′(x)<0在(0,2)上恒成立，所以f(x)在(0,2)上是减函数；③当k>2时，0<<2，k>，所以当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数．综上可知，当02时，f(x)在上是减函数，在上是增函数．3．已知函数f(x)＝aln(x＋1)－ax－x2，讨论f(x)在定义域上的单调性．解f′(x)＝－a－2x＝，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－，又f(x)的定义域为(－1，＋∞)，①当－≤－1，即当a≥0时，若x∈(－1,0)，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；若x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．②当－1＜－＜0，即－2＜a＜0时，若x∈，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；若x∈，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；若x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．③当－＝0，即a＝－2时，f′(x)≤0，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．④当－＞0，即a＜－2时，若x∈(－1,0)，f′(x)＜0，则f(x)单调递减；若x∈，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；若x∈，f′(x)＜0，则f(x)单调递减．综上，当a≥0时，f(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当－2＜a＜0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；当a＝－2时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减；2当a＜－2时，f(x)在(－1,0)上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．考点二利用函数的单调性求参数范围方法技巧(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．4．已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)·(b∈R)，若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．解f′(x)＝，因为当x∈时，＜0，依题意得当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，b≤.所以b的取值范围为.5．设函数f(x)＝(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝＝，因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.(2)由(1)知，f′(x)＝.令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0，解得x1＝，x2＝.当x＜x1时，g(x)＜0，即f′(x)＜0，故f(x)...
