选修1-23.1.1平均变化率、瞬时速度与导数一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0D．Δx≠0[答案]D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案]C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4D．4t0＋4t[答案]C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，＝4Δt＋4＋8t0，lim＝lim(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.4．函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，Δy＝()A．f(x0＋Δx)B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)[答案]D[解析]当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，因变量y的改变量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．5．函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2B．3C．6D．12[答案]C[解析]f′(1)＝lim＝lim＝6.6．若函数y＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则等于()A．4B．4x1C．4＋2ΔxD．4＋2(Δx)2[答案]C[解析]＝＝4＋2Δx.7．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10m/s2)，则当t＝2s时，汽车的加速度是()A．14m/s2B．4m/s2C．10m/s2D．－4m/s2[答案]A[解析]由于s＝2t3－5t2，利用导数的定义可求得v＝s′＝6t2－10t，所以汽车的加速度a＝v′＝12t－10，于是当t＝2s时，汽车的加速度a＝12×2－10＝14(m/s2)．8．如果函数f(x)＝在点x＝x0处的瞬时变化率是，那么x0的值是()A.B.C．1D．3[答案]A[解析]＝＝＝，所以f′(x0)＝lim＝＝，所以x0＝.9．设f(x)在x＝2处有导数，则lim等于()A．2f′(2)B.f′(2)C．f′(2)D．4f′(2)[答案]C[解析]f′(2)＝lim＝lim，所以lim＝lim＝(lim＋lim)＝(f′(2)＋f′(2))＝f′(2)．10．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案]B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为0.69，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.二、填空题11．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．2[答案]8[解析]＝＝8.12．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于____．[答案]2[解析]Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx，＝a，∴lim＝a，∴f′(1)＝a＝2.13．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．[答案]π[解析]∵Δy＝π×23－π×13＝，∴V′＝＝＝π.14．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则lim＝________.[答案]8[解析]lim＝2lim＝2f′(x0)＝8.三、解答题15．求函数f(x)＝x2＋3在[3,3＋Δx]内的平均变化率．[解析]函数f(x)在[3,3＋Δx]内的平均变化率为＝＝＝6＋Δx.16．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析](1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝2，g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为＝＝－2.(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为＝＝2，g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为＝＝－2.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析]第一年婴儿体重平均变化率为＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为＝0.25(千克/月)．18．用导数的定义求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．[解析]∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝＝3∴＝，∴lim＝lim＝＝－，∴y′|x＝1＝f′(1)＝－.4
