【课标要求】1．理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式．2．会用三维形式的及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值．【核心扫描】1．一般形式的柯西不等式的应用是本节考查的重点．2．常与不等式、最值等问题综合考查．(难点)第二节一般形式的柯西不等式自学导引1．三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥.当且仅当时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3)2b1＝b2＝b3＝0或存在一个数k，使得a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3试一试：在空间向量中，有|α||β|≥|α·β|，据此推导三维的柯西不等式的代数形式．提示设α＝(a1，a2，a3)，β＝(b1，b2，b3)，则α·β＝a1b1＋a2b2＋a3b3代入向量式得：(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.当且仅当α·β共线时，即β＝0，或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．2．一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋a23＋…＋a2n)·(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥，当且仅当时，等号成立．(a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn)2或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)bi＝0(i＝1,2,3，…，n)想一想：在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为ai＝kbi(i＝1,2,3，…，n)，可以吗？提示不可以．不仅仅当ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立，当bi＝0(i＝1,2，…，n)时等号也成立．基础自测1．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值为()．A.65B.635C.3635D．6答案C2．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则1x＋4y＋9z的最小值为()．A．24B．30C．36D．48解析利用柯西不等式，(x＋y＋z)1x＋4y＋9z≥x·1x＋y·2y＋z·3z2＝36，∴1x＋4y＋9z≥36，当且仅当x2＝14y2＝19z2，即x＝16，y＝13，z＝12时等号成立．答案C3．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值是________．解析 (a＋b＋c)2a＋2b＋2c＝[(a)2＋(b)2＋(c)2]2a2＋2b2＋2c2≥a·2a＋b·2b＋c·2c2＝18.∴2a＋2b＋2c≥2.答案2题型一利用柯西不等式证明不等式【例1】设a，b，c为正数且互不相等，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a>9a＋b＋c.[思维启迪]分析式子结构→构造两个数组→利用公式求解证明2(a＋b＋c)1a＋b＋1b＋c＋1c＋a＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]·1a＋b＋1b＋c＋1c＋a＝[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]·1a＋b2＋1b＋c2＋1c＋a2≥a＋b·1a＋b＋b＋c·1b＋c＋c＋a·1c＋a2＝(1＋1＋1)2＝9.∴2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9a＋b＋c. a，b，c互不相等，∴等号不可能成立，从而原不等式成立．规律方法有些问题本身不具备运用柯西不等式的条件，但是我们只要改变一下多项式的形态结构，就可以达到利用柯西不等式的目的．【变式1】已知a1，a2，a3为实数，b1，b2，b3为正实数．求证：a21b1＋a22b2＋a23b3≥a1＋a2＋a32b1＋b2＋b3.证明由柯西不等式得：a21b1＋a22b2＋a23b3(b1＋b2＋b3)≥a1b1·b1＋a2b2·b2＋a3b3·b32＝(a1＋a2＋a3)2.∴a21b1＋a22b2＋a23b3≥a1＋a2＋a32b1＋b2＋b3.题型二利用三维柯西不等式求函数的最值【例2】已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的最大值．[思维启迪]由a＋b＋c＝1及4a＋1＋4b＋1＋4c＋1的形式，可以构造柯西不等式解决问题．解4a＋1＋4b＋1＋4c＋1＝4a＋1·1＋4b＋1·1＋4c＋1·1≤(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)12(12＋12＋12)12＝7×3＝21.当且仅当4a＋11＝4b＋11＝4c＋11时取等号．即a＝b＝c＝13时，所求的最大值为21.规律方法利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题．通过巧拆常数、重新排序、改变结构、添项等技巧变形为能利用柯西不等式的形式．【变式2】已知x＋4y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值．解根据已知条件和柯西不等式有(x2＋y2＋z2)(12＋42＋32)≥(x＋4y＋3z)2＝4，所以x2＋y2＋z2≥...
