核心素养测评十四利用导数研究函数的极值、最值(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设函数f(x)=+lnx则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点【解析】选D.f′(x)=-+=,由f′(x)>0,得x>2,所以f(x)的增区间为,f(x)的减区间为(0,2),所以f(x)只有极小值,极小值点为x=2.2.已知函数f(x)是R上的可导函数,f(x)的导函数f′(x)的图象如图,则下列结论正确的是()A.a,c分别是极大值点和极小值点B.b,c分别是极大值点和极小值点C.f(x)在区间(a,c)上是增函数D.f(x)在区间(b,c)上是减函数【解析】选C.由极值点的定义可知,a是极小值点,无极大值点;由导函数的图象可知,函数f(x)在区间(a,+∞)上是增函数.3.已知x=是函数f(x)=x(lnax+1)的极值点,则实数a的值为()A.B.C.1D.e【解析】选B.因为函数f(x)=x(lnax+1)有极值点,所以f′(x)=(lnax+1)+1=2+lnax;因为x=是函数f(x)=x(lnax+1)的极值点,所以f′=2+lna=0;所以lna=-2;解得:a=.4.(2020·湘潭模拟)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,销售额函数是f(x)=-x3+ax2+x,x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数,若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤【解析】选B.设销售利润为g(x),得g(x)=-x3+ax2+x-1-x=-x3+ax2-1,当x=2时,g(2)=-×23+a×22-1=2.5,解得a=2.所以g(x)=-x3+x2-1,g′(x)=-x2+x=-x(x-6),所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.所以当x=6时,函数g(x)取得极大值即最大值.5.(多选)(2020·烟台模拟)已知函数f=,则下列结论正确的是()A.函数f存在两个不同的零点B.函数f既存在极大值又存在极小值C.当-e0时,-12,故,是函数的单调递减区间,是函数的单调递增区间,所以f是函数的极小值,f是函数的极大值,所以B正确.对于C.当x→+∞时,y→0,根据B可知,函数的最小值是f=-e,再根据单调性可知,当-e0,令f′(x)=0,可得x=-2或x=1,当x<-2时f′(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增;当-21时,f′(x)>0,即函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故f(x)的极值点为-2或1,且极大值为f(-2)=.答案:1或-28.已知函数f(x)=当x∈(-∞,m]时,函数f(x)的取值范围为[-16,+∞),则实数m的取值范围是________.【解析】当x≤0时,f′(x)=3(2+x)(2-x),所以当x<-2时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当-20,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x=-2处取最小值f(-2)=-16.画出函数的图象,结合函数的图象得-2≤m≤8时,函数f(x)总能取到最小值-16,故m的取值范围是[-2,8].答案:[-2,8]三、解答题(每小题10分,共20分)9.若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.(1)求a,b的值.(2)设函数g(x)的导数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.【解析】(1)由题设知f′(x)=3x2+2ax+b,且f′(-1)=3-2a+b=0,f′(1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=-3.(2)由(1)知f(x)=x3-3x,则g′(x)=f(x)+2=(x-1)2(x+2),所以g′(x)=0的根为x1=x2=1,x3=-2,即函数g(x)的极值点只可能是1或-2.当x<-2时,g′(x)<0,当-20,当x>1时,g′(x)>0,所以-2是g(x)的极值点,1不是g(x)的极值点.10.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的最大值.(2)若f(x)在区...
