1.1归纳推理课时过关·能力提升1.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于()1×9+2=11;12×9+3=111;123×9+4=1111;1234×9+5=11111;12345×9+6=111111;……A.1111110B.1111111C.1111112D.1111113答案:B2.已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…,则第60个数对是()A.(7,5)B.(5,7)C.(2,10)D.(10,1)解析:依题意,由和相同的整数对分为一组不难得知,第n组整数对的和为n+1,且共有n个整数对.这样前n组一共有n(n+1)2个整数对.注意到10(10+1)2<60<11(11+1)2.因此第60个整数对处于第11组的第5个位置,可得为(5,7).1答案:B3.设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,f(1)=2,则f(2019)等于()A.13B.2C.132D.213解析: f(x)·f(x+2)=13,f(1)=2,∴f(3)¿13f(1)=132,f(5)=13f(3)=2,f(7)¿13f(5)=132,f(9)=13f(7)=2,….∴归纳得f(2n-1)¿{2,n,为奇数132,n.为偶数∴f(2019)=f(2×1010-1)¿132,故选C.答案:C4.若凸n边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)等于()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2解析:凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第(n+1)个顶点出发的(n-2)条对角线和凸n边形的一条边之和,即f(n+1)=f(n)+(n-2)+1=f(n)+n-1.答案:C25.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)解析:由①②③④可归纳得出,符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形,则表示A*D的是图形(2),表示A*C的是图形(4),故选C.答案:C6.设x∈R,且x≠0,若x+x-1=3,猜想x2n+x-2n¿∈N+)的个位数字是()A.6B.7C.8D.9解析:当n=1时,x2+x-2=(x+x-1)2-2=9-2=7,当n=2时,x4+x-4=(x2+x-2)2-2=47,当n=3时,x8+x-8=(x4+x-4)2-2=2207,故猜想x2n+x-2n的个位数字是7.3答案:B7.★若正整数按下面的规律排列:…则上起第2019行,左起第2018列的数为()A.20192B.20182C.20192-2017D.20182-2017解析:经观察可得题中自然数表的排列特点:(1)第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2;(2)第n行第m个数为n2-(m-1)=n2-m+1(m,n∈N+,且n≠1,m≤n);(3)第n行从第1个数至第n个数依次递减1(n∈N+,且n≠1);(4)第n列从第1个数至第n个数依次递增1(n∈N+,且n≠1).故上起第2019行,左起第2018列的数,应是第2019行的第2018个数,即20192-(2018-1)=20192-2017.答案:C8.观察下列等式:4(sinπ3)-2+(sin2π3)-2=43×1×2;(sinπ5)-2+(sin2π5)-2+(sin3π5)-2+(sin4π5)-2=43×2×3;(sinπ7)-2+(sin2π7)-2+(sin3π7)-2+…+(sin6π7)-2=43×3×4;(sinπ9)-2+(sin2π9)-2+(sin3π9)-2+…+(sin8π9)-2=43×4×5;……照此规律:(sinπ2n+1)-2+(sin2π2n+1)-2+(sin3π2n+1)-2+…+(sin2nπ2n+1)-2=¿¿解析:由等式可知,等式右边共三个数相乘,第1个数都是43;而所给等式就是第n个式子,显然第2个数与该等式所在行数相同,故第2个数为n;第3个数比第2个数大1,所以第3个数为n+1.所以第n个式子等号右边为43n(n+1).答案:43n(n+1)9.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,如图所示,则第七个三角形数是.解析:第一个三角形数是1,5第二个三角形数是1+2=3,第三个三角形数是1+2+3=6,第四个三角形数是1+2+3+4=10,第五个三角形数是1+2+3+4+5=15.……因此,由归纳推理得第n个三角形数是1+2+3+4+…+n¿(1+n)n2.根据以上规律将n=7代入,可以得出第七个三角形数是28.答案:2810.如图,图(a)是棱长为1的小正方体,图(b)、图(c)分别是由这样的小正方体摆放而成的.按照这样的方法继续摆放,自上而下分别叫第1层,第2层,……第n层.第n层的小正方体的个数记为Sn,解答下列问题:(1)按照要求填表:n1234…Sn136…(2)S10=;(3)Sn=.6解析:由S1=1,S2=3=1+2,S3=6=1+2+3,得S4=1+2+3+4=10,S10=1+2+…+10=55,Sn=1+2+3+…+n¿n(n+1)2.答案:(1)10(2)55(3¿n(n+1)211.已知a,b为正整数,设两条直线l1:y=b−bax与l2:y=bax的交点为P1(x1,y1),且对于大于等于2的自然数n,经过两点(0,b),(xn−1,0)的直线与直线y=bax交于点Pn(xn,yn).(1)求点P1,P2的坐标;(2)猜想点P...
