4.2复数的四则运算学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是()A．1B．2C．－2D．－1【解析】z1－z2＝y＋xi－(yi－x)＝x＋y＋(x－y)i＝2，∴∴x＝y＝1.∴xy＝1.【答案】A2．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝()A．0B．6iC．6D．6－6i【解析】∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.【答案】D3．复数z＝－ai，a∈R，且z2＝－i，则a的值为()A．1B．2C.D．【解析】由z＝－ai，a∈R，得z2＝2－2××ai＋(ai)2＝－a2－ai，因为z2＝－i，所以解得a＝.【答案】C4．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】复数z1对应向量OA，复数z2对应向量OB.则|z1＋z2|＝|OA＋OB|，|z1－z2|＝|OA－OB|，依题意有|OA＋OB|＝|OA－OB|.∴以OA，OB为邻边所作的平行四边形是矩形．∴△AOB是直角三角形．【答案】B5．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·等于()A.B.C．1D．2【解析】∵z＝＝＝＝＝＝－＋，∴＝－－，∴z·＝.【答案】A1二、填空题6．复数的值是________.【解析】＝＝－1.【答案】－17．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝__________.【解析】∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.【答案】18．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.【解】法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)．则|z|＝，代入方程得a＋bi＋＝2＋8i.∴解得∴z＝－15＋8i.法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，于是|z|＝，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.代入z＝2－|z|＋8i，得z＝－15＋8i.【答案】－15＋8i三、解答题9．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.(1)求AB，BC，AC对应的复数；(2)判断△ABC的形状；(3)求△ABC的面积．【解】(1)AB对应的复数为2＋i－1＝1＋i，BC对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，AC对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.(2)∵|AB|＝，|BC|＝，|AC|＝＝2，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC为直角三角形．(3)S△ABC＝××2＝2.10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4.(1)求复数z的共轭复数；(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．【解】(1)z＝－1＋i＋3i＋3－4＝－2＋4i，所以复数z的共轭复数为－2－4i.(2)w＝－2＋(4＋a)i，复数w对应向量为(－2,4＋a)，其模为＝.又复数z所对应向量为(－2,4)，其模为2.由复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，得20＋8a＋a2≤20，a2＋8a≤0，a(a＋8)≤0，所以实数a的取值范围是－8≤a≤0.[能力提升]21．(2016·宁夏高二检测)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则1＝2B．若z1＝2，则1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2D．若|z1|＝|z2|，则z＝z【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒1＝2，真命题；B，z1＝2⇒1＝2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·1＝z2·2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．【答案】D2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()A．2B．4C．4D．16【解析】由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.【答案】C3．若复数z＝的实部为3，则z的虚部为__________．【解析】z＝＝＝＝＋i.由题意知＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i.∴z的虚部为1.【答案】14．已知z为复数，为实数，为纯虚数，求复数z.【解】设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.因为为实数，所以a－1＝0，即a＝1.又因为＝＝为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.故复数z＝1＋i.3
