角平分线的性质在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？ABC不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC再打开纸片，看再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？看折痕与这个角有何关系？（对折）探究角平分线的性质(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=2∠（角平分线的定义）∵PDOA⊥，PEOB⊥∴∠PDO=PEO=90∠0∵OP=OP（公共边）∴△PDOPEO≌△（A.A.S.）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE(3)验证猜想符号语言题设：∵∠1=2,PD∠⊥OA，PE⊥OB结论：∴PD=PEPAOBCED12(4)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。1、判断题（）∵如图，AD平分∠BAC（已知）∴BD=DC()ADCB角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×22、、在∠在∠AOBAOB的平分线的平分线OCOC上任取一点上任取一点PP，若，若PP到到OAOA的距离为的距离为3cm3cm，则，则PP到到OBOB的距离边为＿＿的距离边为＿＿＿＿cm.cm.３活动三随堂练习（第1题）３．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点随堂练习如图，在如图，在RtRt△△ABCABC中，中，做完本题后，你对角平分线做完本题后，你对角平分线,,又增加了什么又增加了什么认识认识??思考思考角平分线的性质，为我们证明角平分线的性质，为我们证明两条线段两条线段相等相等又提供了新的方法与又提供了新的方法与途径途径。。ABCBDBD是是角角平分线，平分线，DEDE⊥⊥ABAB，垂足为，垂足为EE，，EEDEDE与与DCDC相等吗？相等吗？DD答：答：DE=DCDE=DC。。∵∵BDBD是∠是∠ABCABC的平分线的平分线且且DEDE⊥⊥BABA，，∴∴DE=DCDE=DC。。为什么？为什么？DCBC⊥DCBC⊥，，随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在RtPDO△与RtPEO△中∴∠PDO=PEO=90∠0∵PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴RtPDO△≌RtPDO(H.L.)△∴∠1=2∠即点P在∠AOB的平分线上角平分线上的点角平分线上的点到角两边的距离到角两边的距离相等。相等。逆命题角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.题设∵PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB结论∴OC平分∠AOBACBEDPMHK例题如图，在△ABC的顶点B的外角的平分线BD与顶点C的外角的平分线CE相交于点P．求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等．证明：过点P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分别为M、K、H。∵BD平分∠CBMPM⊥AB、PK⊥BC∴PK＝PM同理PK＝PH∴PK＝PM＝PH即点P到三边AB、BC、AC的距离相等思考分析思考分析思考分析若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？3、如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3，△ABC的周长为15，求S△ABCABCOMNGD小结下课了!这节课我们学到了什么？①掌握了角平分线的性质定理及其逆定理.②利用角平分线性质定理证明两条线段相等.
