3.3.2利用导数研究函数的极值VIP免费

3.3.2利用导数研究函数的极值探究一：已知函数f(x)=2x3-6x2+7(1)求f(x)的单调区间,并画出其大致图象;0xy2(2)函数f(x)在x＝0和x＝2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?极值点与极值的概念：已知函数,设是定义域内任一点，如果对附近的所有点x,都有则称函数f(x)在点处取极大值。记作：并把称为函数f(x)的一个极大值点。如果在附近都有，则称函数f(x)在点处取极小值。记作：，并把称为函数f(x)的一个极小值点。y=f(x)f(x)f(x0)y极小值＝f(x0)0x0x0x0x0x0x0x,ab极大值和极小值统称为极值极大值点和极小值点统称为极值点观察下述图像，指出该函数的极值点和极值，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点oabxy)(4xf)(1xf1x2x3x4x函数极值概念的几点说明•（1）极值只是对一点附近而言，是一个局部概念•（2）函数的极大（小）值可能不止一个，且函数的极大值未必比极小值大•（3）极值点是自变量，极值是变量•（4）函数的极值点一定在函数的内部，区间端点不能成为极值点探究二：x1x2aby=f(x)f(x)<0f(x)>0f(x)>0f(x)<0yxO函数y=f(x)在极值点的导数值为多少?在极值点附近的导数符号有什么规律?2()0fx1()0fx【函数的极值与导数的关系】f(x)<0f(x)>00()fx0()fxf(x)<0f(x)>0f()=0f()=0探索与尝试：求函数y=1/3x3－4x+4的极值解：32144432()()()2yxxxxx－－－12022yxx令，解得－，当x变化时，，y的变化情况如下表:yx－2(－2,2)2+0－0+y↗↘↗,22,y极大值极小值282,=3xy极大值当42,=-3xy极小值当[一点通]求极值的方法：（1）求导数；（2）解方程求得所有实数根;（3）通过列表检查在方程的根的左右两侧的符号,进而确定函数的极值点与极值.()fx()0fx()fx()0fx例1：求函数的极值.216xxy学以致用解：.)1()1(6222xxy令=0,解得x1=-1,x2=1.y因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=-3.当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-1)-1(-1,1)1(2,+∞)y’-0+0-y↘极大值-3↗极小值3↘探究三：导数值为0的点一定是函数的极值点吗?例如:函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原因是：函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.函数在极值点处的导数必为零；反之，函数的导数为零的点,不一定是函数的极值点.0()0fx是为极值点的条件0x必要不充分例2．求y=(x2－1)3+1的极值.解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表:x(－∞,－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′－0－0+0+y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0例3已知函数在处的极值为10，求的值322()fxxaxbxa1x,ab解题思路：因为函数在处的极值为0，因此，且，所以列方程解，由于导数为0的点不一定是极值点，因此需要将求出的值进行检验()fx1x(1)0f(1)10f[精解详析]f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意得f1＝10，f′1＝0，即1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0，解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.但由于当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3≥0，故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，所以a＝－3，b＝3不符合题意，舍去；而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，故a，b的值分别为4，－11.课堂小结2、求极值的方法：1、极值点与极值的概念：