§3.2一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法1．一元二次不等式只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一2注意：理解一元二次不等式的概念①可以这样理解：形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫做一元二次不等式，其中a，b，c为常数．②“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，哪一个是变量“未知数”，哪一些是“参数”就可以．③“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．2．一元二次不等式的解集1．下列不等式：①x2>0；②－x2－2x≤15；③x3－5x＋6>0；④x2－y<0.其中一元二次不等式的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：B2．不等式x2－2x＋1>0的解集是()A．RB．{x|x∈R，且x≠1}C．{x|x>1}D．{x|x<1}答案：B3．函数y＝x2－x－6的判别式Δ________0，该图象与x轴有________个交点，其交点横坐标为________，不等式x2－x－6>0的解集是________，不等式x2－x－6<0的解集是________．答案：>2－2,3(－∞，－2)(3∪，＋∞)(－2,3)4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．答案：(－∞，－2)(3∪，＋∞)x－3－2－101234y60－4－6－6－4065．解不等式－1
－1，x2＋2x－1≤2，即x2＋2x>0①，x2＋2x－3≤0②.解不等式①： 方程x2＋2x＝0的两根为x1＝－2，x2＝0，∴不等式x2＋2x>0的解集为{x|x<－2或x>0}．解不等式②： 方程x2＋2x－3＝0的两根为x3＝－3，x4＝1，∴不等式x2＋2x－3≤0的解集为{x|－3≤x≤1}．故原不等式的解集为{x|x<－2或x>0}∩{x|－3≤x≤1}＝{x|－3≤x<－2或014；(2)－x2＋7x>6.[解](1)先将14移到左边化为x2－5x－14>0.因为方程x2－5x－14＝0的两根分别为－2,7.结合二次函数图象易得不等式解集为{x|x<－2或x>7}．(2)先将不等式化为x2－7x＋6<0，因为方程x2－7x＋6＝0的两根为1,6.所以利用图象可得不等式解集为{x|12.解：整理得3x2－6x＋2<0.因为Δ>0，方程3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－33，x2＝1＋33.所以，原不等式的解集是{x|1－330；(2)ax2－(a＋1)x＋1<0.[分析]在(1)中，显然有两根a和a2，因而只需要以两根的大小作为分类标准即可；而在(2)中，首先它不一定是一元二次不等式，即使是也不一定有二次项系数大于零，因此应首先以二次项系数与零的大小为分类标准进行分类讨论，转化为标准形式后，还应考虑判别式与零的大小，再就是两根的大小关系．[解](1)原不等式化为(x－a)(x－a2)>0①当a2－a>0，即a>1或a<0时，原不等式的解为x>a2或xa；③当a2－a＝0，即a＝0或a＝1时，原不等式的解为x≠a.(2)原不等式化为(ax－1)(x－1)<0.①当a＝0时，其解为x>1；②当01时，其解为1a0，其解为x<1a或x>1.[评析](1)解含有参数的一元二次型(ax2＋bx＋c>0)的不等式，首先要以二次项系数与零的大小作为分类标准进行分类讨论；其次转化为标准形式的一元二次不等式(即二次项系数大于零)后，再以判别式与零的大小作为分类标准进行分类讨论；如果两根的大小还不能确定，此时还需要以两根的大小作为分类标准再进行分类讨论．(2)若对参数进行讨论，其结果应对参数分类叙述．为了叙述结果的简洁，可把其解的结构一样的相应参数合并在一起叙述．(3)解这类问题容易出现的失误是未对二次项系数进行讨论，特别是未考虑它是否为零．迁移变式2若a∈R，解关于x的不等式ax2＋2x＋1<0.解：若a＝0，不等式变形为2x＋1<0，故原不等式的解集为x...
